Diagonalizzazione di Matrice ad Autovalori Complessi

[matsod]

Buonasera carissimi,
avrei bisogno di qualche dritta nella diagonalizzazione di matrice ad autovalori complessi. Non ho alcun tipo di problema nel calcolo del polinomio caratteristico e quindi degli autovalori, e ho ben presente il procedimento che bisogna seguire nel caso di autovalori reali (distinti e non) per il calcolo degli autovettori associati. Riguardo agli autovettori relativi ad autovalori complessi... meh...

Nel momento in cui io trovo una coppia di complessi coniugati come autovalori di una matrice A, ad esempio a ± ib, il professore mi ha dato la seguente formula, con ua e ub vettori:

(A - (a + ib) )(ua + i ub) = 0 + i0
(A - (a - ib) )(ua + i ub) = 0 + i0

dove ua e ub sarebbero gli autovettori in questione... Ma non ho capito la natura di questo calcolo. Perché è così? E come si tradurrebbe in pratica? Spero possiate spiegarmelo, magari con un esempio esemplificativo che mi aiuti a capire il vero e proprio passaggio meccanico nella pratica.

Vi ringrazio.

[coffee2]

Nella formula che riporti c'è qualcosa che non torna, ma mi pare che il senso dell'osservazione sia questo: data per esempio la matrice \[ A=\begin{bmatrix} 1 & 1 \\ -1 & 1 \end{bmatrix} \] un suo autovalore è $\lambda_1=1+i$ e un autovettore relativo a esso è \[ u_1 = \begin{bmatrix} 1 \\ i \end{bmatrix} = \underbrace{\begin{bmatrix} 1 \\ 0 \end{bmatrix}}_{v} + i\underbrace{\begin{bmatrix} 0 \\ 1 \end{bmatrix}}_{w} \] dove ho spezzato $u_1$ in quel modo perché voglio scrivere $Au_1=\lambda_1 u_1$ nel modo seguente \[ Av+iAw = A(v+iw) = (1+i)(v+iw) = v-w + i(v+w) \] e ricavarne quindi \[ Av = v-w \qquad Aw = v+w \] (dato che $A$, $v$ e $w$ sono a coefficienti reali). L'altro autovalore di $A$ è $\lambda_2=1-i$ e vedo che \[ A(v-iw)=Av-iAw=v-w-i(v+w)=(1-i)(v-iw) \] quindi ho trovato che un autovettore relativo a $\lambda_2$ è \[ u_2 = v-iw = \begin{bmatrix} 1 \\ -i \end{bmatrix} \]

Moralmente, se $A$ è a coefficienti reali, $\lambda_1=a+ib$ è un suo autovalore complesso e $\lambda_2=a-ib$ è l'autovalore coniugato, posso fare due cose: (1) trovo un autovettore $u_1$ relativo a $\lambda_1$ e ottengo gratis un autovettore $u_2$ relativo a $\lambda_2$ prendendo come coefficienti di $u_2$ i complessi coniugati di quelli di $u_1$, oppure (2) se non voglio lavorare con i numeri complessi cerco due vettori non banali $v$ e $w$ a coefficienti reali che risolvano \[ Av=av-bw \qquad Aw=bv+aw \] e avrò che i vettori $u_1=v+iw$, $u_2=v-iw$ sono entrambi non nulli e soddisfano \[ Au_1 = Av + iAw = av-bw+i(bv+aw) = (a+ib)(v+iw) = \lambda_1 u_1 \] \[ Au_2 = Av - iAw = av-bw-i(bv+aw) = (a-ib)(v-iw) = \lambda_2 u_2 \]