Diagonalizzazione di forme quadratiche

[sara912]

Ciao a tutti. Non riesco a venire a capo di questo esercizio. Si consideri la forma quadratica $ q: RR ^3rarr RR $ definita da $ q(x,y,z)=2kx^2-6xy+2y^2+8yz+2z^2 $ dove $ k in RR $ . Stabilire per quali valori di k q è definita positiva e nel caso k=1 diagonalizzare q. Per prima cosa ho scritto la matrice associata a q $ ( ( 2k , -3 , 0 ),( -3 , 2 , 4 ),( 0 , 4 , 2 ) ) $ Dagli appunti ho studiato che condizione necessaria e sufficiente affinchè una forma quadratica sia definita positiva è che i determinanti di tutti i minori principali siano strettamente positivi. In particolare il prof ha portato l'esempio di una generica matrice 3x3 dicendo che deve essere $ | ( a_11 ) |>0 $ $ | ( a_11 , a_12 ),( a_21 , a_22 ) | >0 $ $ | ( a_11 , a_12 , a_13 ),( a_21 , a_22 , a_23 ),( a_31 , a_32 , a_33 ) |>0 $ Quindi nel mio caso ho imposto queste condizioni ritrovando un sistema che non ammette soluzioni! Ritrovo infatti $ k>0 $ $ k>9 / 4 $ $ k<-3 / 4 $ Cosa sbaglio secondo voi? Help!

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Perchè ti viene il dubbio di commettere errori?

[sara912]

Perchè mettendo a sistema quelle tre soluzioni non ho nessuna soluzione. Oppure deve essere valida almeno una di quelle?

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No, devi risolvere il sistema e quindi devono essere vere tutte.
Ti chiede per quali valori di $k$ è definita positiva, evidentemente non esistono soluzioni.

[sara912]

Ok, effettivamente credo mi abbia tratto in inganno quel $ k=1 $ della seconda richiesta... Come se non ritrovare il valore $ k=1 $ nella prima richiesta automaticamente mi inducesse a non poter risolvere la seconda! Sono un po' esaurita ultimamente Comunque, grazie!