Diagonalizzazione di Cantor e primo numerabilità
Salve a tutti.
Ho uno spazio topologico quoziente $\mathbb{C}_{\equiv}$ rispetto a questa relazione di equivalenza $z \equiv w \iff (z=w) \vee (z,w\in \mathbb{Z})$.
Devo verificare che non è primo numerabile. Negli appunti che ho si dice: "Ciò si verifica agevolmente con il processo diagonale di Cantor". E' davvero così agevole la cosa? Sono curioso.
Non ho la più pallida idea di cosa ci sia dietro questo argomento.
Fra l'altro avevo già visto questa pagina qui su Matematicamente:
viewtopic.php?f=37&t=123379&start=10
E mi sembra che l'idea possa funzionare anche nel mio caso. Che ne dite? Può essere più elementare di un argomento come quello di Cantor?
Grazie in anticipo.
Ho uno spazio topologico quoziente $\mathbb{C}_{\equiv}$ rispetto a questa relazione di equivalenza $z \equiv w \iff (z=w) \vee (z,w\in \mathbb{Z})$.
Devo verificare che non è primo numerabile. Negli appunti che ho si dice: "Ciò si verifica agevolmente con il processo diagonale di Cantor". E' davvero così agevole la cosa? Sono curioso.
Non ho la più pallida idea di cosa ci sia dietro questo argomento.
Fra l'altro avevo già visto questa pagina qui su Matematicamente:
viewtopic.php?f=37&t=123379&start=10
E mi sembra che l'idea possa funzionare anche nel mio caso. Che ne dite? Può essere più elementare di un argomento come quello di Cantor?
Grazie in anticipo.
Risposte
È parecchio tempo che non lo scrivo: devi ragionare utilizzando la proiezione canonica \(\displaystyle\pi\) di \(\displaystyle\mathbb{C}\) su \(\displaystyle\mathbb{C}_{\displaystyle/\sim}=X\)...
P.S.: Riesci a immaginare \(\displaystyle X\)? Potrebbe essere di aiuto in questo caso!
P.S.: Riesci a immaginare \(\displaystyle X\)? Potrebbe essere di aiuto in questo caso!
"j18eos":
P.S.: Riesci a immaginare \(\displaystyle X\)? Potrebbe essere di aiuto in questo caso!
Credo di sì. Dovrebbe essere una specie di Bouquet di infiniti $S^1$ in prodotto cartesiano con una retta. Una specie di cilindro che ha come sezione un bouquet infinito di circonferenze insomma... Se lo considero (sicuramente in maniera non proprio corretta) come una superficie di $\mathbb{R}^3$, e prendo un intorno sferico $B$ del suo punto $[0]$, la controimmagine $U$ tramite $\pi$, di questo intorno $B\subseteq X$, sarà un intorno di $\mathbb{Z}$ in $\mathbb{C}$. A seconda di come si sceglie $B$, la sua controimmagine $U$, tramite $\pi$, sarà connessa o meno.
Forse poichè io mi immagino $X$ come una superficie in $\mathbb{R}^3$, non riesco a immaginarmi un intorno $B$ di $[0]$ tale che non esista nessuna palla $B'$ di (raggio razionale) centrata in $[0]$ tale che $B'\subseteq B$
"Isaac888":Non è un prodotto.
...Credo di sì. Dovrebbe essere una specie di Bouquet di infiniti $S^1$ in prodotto cartesiano con una retta...
Ti chiedo formalmente scusa, ma non sono in grado di aiutarti in questi giorni; ho un crollo psicofisico[nota]Mal di testa cronico; non capisco nulla quando studio; dolori alle gambe (ché cammino molto); allergia e tosse; quando parlo non mi capisco nemmanco io...[/nota] causato dal troppo lavoro.
Ne approfitto, stando a Treviso con gli amici, per riprendermi.
Figurati! Spero che ti rimetta presto 
Procedamus cum grano salis: sia \(\displaystyle A\subseteq\mathbb{C}\) aperto, chi sono \(\displaystyle\pi^{-1}(\pi(A))=\widetilde{A}\) per \(\displaystyle A\cap\mathbb{Z}=\emptyset\) ed \(\displaystyle A\cap\mathbb{Z}\neq\emptyset\)?
Hai dato un'occhiata a questo?
Comunque non capisco il ragionamento che fa j18eos qui: non credo che si possa dedurre la non-primo-numerabilità dal fatto che ci sono "tantissime" funzioni che vanno a zero: mi sembra che se una famiglia di strisce va bene allora la posso rendere numerabile... insomma non mi è chiaro come segue la non-primo-numerabilità dal fatto che ci sono una quantità non numerabile di strisce che vanno a zero. Armando, care to weigh in?
Comunque non capisco il ragionamento che fa j18eos qui: non credo che si possa dedurre la non-primo-numerabilità dal fatto che ci sono "tantissime" funzioni che vanno a zero: mi sembra che se una famiglia di strisce va bene allora la posso rendere numerabile... insomma non mi è chiaro come segue la non-primo-numerabilità dal fatto che ci sono una quantità non numerabile di strisce che vanno a zero. Armando, care to weigh in?
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