Diagonalizzazione con più paramentri
Ciao ragazzi vi espongo subito il mio problema (ma dovrei dire nostro dato che parlo a nome di più persone).
La traccia di un esercizio dell'ultimo compito di geometria dice:
Si consideri la matrice:
$A=((2,3,0,0),(1,-2,0,0),(a,b,-1,-3),(0,0,1,4))$
Dire per quali valori dei parametri a e b la matrice è diagonalizzabile.
Ora abbiamo cercato ovunque sul nostro libro ma non c'è scritto nulla di utile... Come possiamo fare per risolverla?
Grazie a tutti!
La traccia di un esercizio dell'ultimo compito di geometria dice:
Si consideri la matrice:
$A=((2,3,0,0),(1,-2,0,0),(a,b,-1,-3),(0,0,1,4))$
Dire per quali valori dei parametri a e b la matrice è diagonalizzabile.
Ora abbiamo cercato ovunque sul nostro libro ma non c'è scritto nulla di utile... Come possiamo fare per risolverla?
Grazie a tutti!
Risposte
allora. Devi discutere la matrice è diagonalizzabile se e solo se riesci a trovare n autovalori distinti (la dimensione dello spazio è n). Quindi in poche parole devi fare in modo che il determinate ti crei n autovalori (come la grandezza dello spazio)...
Non ho ben capito... Il primo passaggio che facciamo di solito è quello di trovare il polinomio caratteristico della matrice, moltiplicandola per la matrice identità... In questo caso cosa dovremmo fare?
EDIT:
Allora nessuno lo sa fare?
EDIT:
Allora nessuno lo sa fare?
Può darsi che abbia sbagliato i conti, te li propongo, ma a me pare che i due parametri non entrino proprio in gioco se sviluppi il determinate...
$|(-2-lambda,3,0,0),(1,-2-lambda,0,0),(a,b,-1-lambda,-3),(0,0,1,4-lambda)|$
sviluppando lungo la prima riga abbiamo $(2-lambda)(-2-lambda)[(-1-lambda)(4-lambda)+3]-3[(-1-lambda)+3]=0$
e mi pare che non rientrino $a,b$. Controlla meglio i miei calcoli!
Nel caso mi scuso e cerchiamo un'altra soluzione
$|(-2-lambda,3,0,0),(1,-2-lambda,0,0),(a,b,-1-lambda,-3),(0,0,1,4-lambda)|$
sviluppando lungo la prima riga abbiamo $(2-lambda)(-2-lambda)[(-1-lambda)(4-lambda)+3]-3[(-1-lambda)+3]=0$
e mi pare che non rientrino $a,b$. Controlla meglio i miei calcoli!
Nel caso mi scuso e cerchiamo un'altra soluzione
L'ho notato anche io, però penso che per metterlo nella traccia un motivo ci sia o no?
Domani (data l'ora tarda) vi scrivo una dimostrazione che ci fece il prof in classe,che è veramente un arcano per noi miseri informatici,così vediamo di capirne qualcosa in più...
Domani (data l'ora tarda) vi scrivo una dimostrazione che ci fece il prof in classe,che è veramente un arcano per noi miseri informatici,così vediamo di capirne qualcosa in più...
vuol dire che non dipende dai due parametri...
Può capitare, se la molteplicità algebrica di qualche radice è maggiore di uno, che $a$ e $b$ mutino il fatto che la tua molteplicità geometria sia uguale (e in tal caso la matrice è diagonalizzabile) o minore di quella algebrica...
A me la matrice $((1, 0),(0,1))$ pare diagonalizzabile, eppure vedo un solo autovalore.
"svarosky90":
allora. Devi discutere la matrice è diagonalizzabile se e solo se riesci a trovare n autovalori distinti (la dimensione dello spazio è n). Quindi in poche parole devi fare in modo che il determinate ti crei n autovalori (come la grandezza dello spazio)...
A me la matrice $((1, 0),(0,1))$ pare diagonalizzabile, eppure vedo un solo autovalore.
Allora ragazzi ho chiesto al prof delucidazioni e ha risposto che la matrice è diagonalizzabile per ogni valore di a e b perchè ha tutti gli autovalori distinti...
Ragazzi, qualcuno di buona volontà mi può spiegare in termini molto maccheronici cos'è la dimensione di un autospazio? Cioè in pratica come capisco di che molteplicità geometrica è un autospazio?
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