Diagonalizzazione con parametro: problema con autovalori
Lo so, lo so, è il secondo post in poco tempo... Però a settembre proverò Algebra per la quarta volta e sarei piuttosto deciso a passarla! Cercate di capirmi 
Ecco l'esercizio:
Data la matrice:
$ M = | ( -k , 0 , 0 , -k+1 ),( 0 , k^2 , 0 , 0 ),( 0 , -k+1 , k^2 , 0 ),( 0 , 0 , 0 , -k ) | $
devo determinare per quali valori di k reale, non nullo e diverso da zero, (non mi fa mettere il simbolo dei reali...?) la matrice è diagonalizzabile.
Ora, rispetto la prima colonna al primo passaggio e l'ultima riga al secondo, ho che il polinomio caratteristico vale:
$ p_(M)( lambda ) = (-k-lambda)^2*(k^2-lambda)^2 $
che si annulla per: $ { ( -k-lambda=0 ),( k^2-lambda=0 ):} rarr lambda=-k vv lambda=k^2 $
qui comincio ad avere problemi!
Supponiamo che siano allora 2 gli autovalori, di molteplicità algebrica entrambi 2: le radici del polinomio sono $k^2, -k$ ... ora come procedo? Faccio troppa confusione con le molteplicità algebriche e geometriche, ho seriamente bisogno di una mano...
Vi ringrazio
P.S. Non mi "bolda" il testo?
P.P.S: Ho provato a calcolare l'autospazio relativo a $-k$, ovvero:
$ ker(M+kI) = ker | ( 0 , 0 , 0 , -k+1 ),( 0 , k^2+k , 0 , 0 ),( 0 , -k+1 , k^2+k , 0 ),( 0 , 0 , 0 , 0 ) | $
con opportuna riduzione a scala ottengo:
$ ker(M+kI) = ker | ( 0 , 1 , 0 , 0 ),( 0 , 0 , k^2+k , 0 ),( 0 , 0 , 0 , -k+1 ),( 0 , 0 , 0 , 0 ) | $
che mi dà come autospazio il vettore: $ (1,0,0,0) $ , che ha quindi dimensione 1 e non 2
Mentre per $k^2$:
$ ker(M-k^2)=ker | ( -k-k^2 , 0 , 0 , -k+1 ),( 0 , 0 , 0 , 0 ),( 0 , -k+1 , 0 , 0 ),( 0 , 0 , 0 , -k-k^2 ) | $
il cui autospazio è questa volta $(0,0,1,0)$, ancora di dimensione 1 e non 2
Devo quindi concludere che la matrice non è mai diagonalizzabile per $-k$ e per $k^2$?
Ecco l'esercizio:Data la matrice:
$ M = | ( -k , 0 , 0 , -k+1 ),( 0 , k^2 , 0 , 0 ),( 0 , -k+1 , k^2 , 0 ),( 0 , 0 , 0 , -k ) | $
devo determinare per quali valori di k reale, non nullo e diverso da zero, (non mi fa mettere il simbolo dei reali...?) la matrice è diagonalizzabile.
Ora, rispetto la prima colonna al primo passaggio e l'ultima riga al secondo, ho che il polinomio caratteristico vale:
$ p_(M)( lambda ) = (-k-lambda)^2*(k^2-lambda)^2 $
che si annulla per: $ { ( -k-lambda=0 ),( k^2-lambda=0 ):} rarr lambda=-k vv lambda=k^2 $
qui comincio ad avere problemi!
Supponiamo che siano allora 2 gli autovalori, di molteplicità algebrica entrambi 2: le radici del polinomio sono $k^2, -k$ ... ora come procedo? Faccio troppa confusione con le molteplicità algebriche e geometriche, ho seriamente bisogno di una mano...
Vi ringrazio
P.S. Non mi "bolda" il testo?
P.P.S: Ho provato a calcolare l'autospazio relativo a $-k$, ovvero:
$ ker(M+kI) = ker | ( 0 , 0 , 0 , -k+1 ),( 0 , k^2+k , 0 , 0 ),( 0 , -k+1 , k^2+k , 0 ),( 0 , 0 , 0 , 0 ) | $
con opportuna riduzione a scala ottengo:
$ ker(M+kI) = ker | ( 0 , 1 , 0 , 0 ),( 0 , 0 , k^2+k , 0 ),( 0 , 0 , 0 , -k+1 ),( 0 , 0 , 0 , 0 ) | $
che mi dà come autospazio il vettore: $ (1,0,0,0) $ , che ha quindi dimensione 1 e non 2
Mentre per $k^2$:
$ ker(M-k^2)=ker | ( -k-k^2 , 0 , 0 , -k+1 ),( 0 , 0 , 0 , 0 ),( 0 , -k+1 , 0 , 0 ),( 0 , 0 , 0 , -k-k^2 ) | $
il cui autospazio è questa volta $(0,0,1,0)$, ancora di dimensione 1 e non 2
Devo quindi concludere che la matrice non è mai diagonalizzabile per $-k$ e per $k^2$?
Risposte
Intanto, dovresti scrivere:
$(-k-\lambda)^2(k^2-\lambda)^2=0 rarr \lambda=-k vv \lambda=k^2$
visto che devi determinare $\lambda$ in funzione di $k$. Ad ogni modo, il primo passo consiste nel discutere le molteplicità algebriche degli autovalori in funzione di $k$.
$(-k-\lambda)^2(k^2-\lambda)^2=0 rarr \lambda=-k vv \lambda=k^2$
visto che devi determinare $\lambda$ in funzione di $k$. Ad ogni modo, il primo passo consiste nel discutere le molteplicità algebriche degli autovalori in funzione di $k$.
Ho modificato, grazie! Potresti darci un'occhiata adesso please? Ci ho anche aggiunto dei passaggi 
Se:
$-k=k^2 rarr k=0 vv k=-1$
hai un singolo autovalore di molteplicità algebrica $4$. Tuttavia, andando a sostituire, è evidente che la molteplicità geometrica è minore di $4$, visto che la matrice non si riduce alla matrice nulla. In ogni caso, mi sembra che debba essere $kne0$. Quindi, se $k=-1$, la matrice è senz'altro non diagonalizzabile. Solo adesso puoi continuare supponendo di avere due autovalori distinti di molteplicità algebrica due.
$-k=k^2 rarr k=0 vv k=-1$
hai un singolo autovalore di molteplicità algebrica $4$. Tuttavia, andando a sostituire, è evidente che la molteplicità geometrica è minore di $4$, visto che la matrice non si riduce alla matrice nulla. In ogni caso, mi sembra che debba essere $kne0$. Quindi, se $k=-1$, la matrice è senz'altro non diagonalizzabile. Solo adesso puoi continuare supponendo di avere due autovalori distinti di molteplicità algebrica due.
Ma come vedi non ci sarà mai molteplicità geometrica 4; a meno che non sia $k=1$, avrò molteplicità geometrica 2 ed in tal caso dovrei avere matrice simmetrica e quindi ortogonalmente diagonalizzabile
Per quanto riguarda le seguenti matrici:
$((0,0,0,-k+1),(0,k^2+k,0,0),(0,-k+1,k^2+k,0),(0,0,0,0))$
$((-k-k^2,0,0,-k+1),(0,0,0,0),(0,-k+1,0,0),(0,0,0,-k-k^2))$
nell'ipotesi che sia $k^2+kne0$, entrambe hanno rango $2$ per $k=1$, rango $3$ per $kne1$. Per concludere, la matrice è diagonalizzabile solo per $k=1$. Tra l'altro, per $k=1$, la matrice è già diagonale.
Ok, ma bisogna in qualche modo argomentarlo.
$((0,0,0,-k+1),(0,k^2+k,0,0),(0,-k+1,k^2+k,0),(0,0,0,0))$
$((-k-k^2,0,0,-k+1),(0,0,0,0),(0,-k+1,0,0),(0,0,0,-k-k^2))$
nell'ipotesi che sia $k^2+kne0$, entrambe hanno rango $2$ per $k=1$, rango $3$ per $kne1$. Per concludere, la matrice è diagonalizzabile solo per $k=1$. Tra l'altro, per $k=1$, la matrice è già diagonale.
"Henry!":
Ma come vedi non ci sarà mai molteplicità geometrica 4...
Ok, ma bisogna in qualche modo argomentarlo.
Bene, gentilissimo grazie
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