Diagonalizzazione con parametro in R
Buonasera,
ho un problema con questo esercizio:
Sia At la matrice
At=$[[2,0,1],[0,2,0],[t+1,0,2]]$
a) al variare di t (in R) dire se At è diagonalizzabile in R.
Io ho iniziato l'esercizio cercando gli autovalori quindi (perdonatemi ho messo x perché non riuscivo a mettere l'ambda):
$[[2,0,1],[0,2,0],[t+1,0,2]]$ - $[[x,0,0],[0,x,0],[0,0,x]]$=$[[2-x,0,1],[0,2-x,0],[t+1,0,2-x]]$
poi risolvo e ottengo
$(2-x)^3$ + (-2t-2+xt+x)=0
che diventa -$x^3$ +6$x^2$+x(-11+t)+6-2t=0 e poi non capisco come andare avanti, devo forse distinguere i casi in cui t=0 oppure diverso da 0?
Vi ringrazio!
ho un problema con questo esercizio:
Sia At la matrice
At=$[[2,0,1],[0,2,0],[t+1,0,2]]$
a) al variare di t (in R) dire se At è diagonalizzabile in R.
Io ho iniziato l'esercizio cercando gli autovalori quindi (perdonatemi ho messo x perché non riuscivo a mettere l'ambda):
$[[2,0,1],[0,2,0],[t+1,0,2]]$ - $[[x,0,0],[0,x,0],[0,0,x]]$=$[[2-x,0,1],[0,2-x,0],[t+1,0,2-x]]$
poi risolvo e ottengo
$(2-x)^3$ + (-2t-2+xt+x)=0
che diventa -$x^3$ +6$x^2$+x(-11+t)+6-2t=0 e poi non capisco come andare avanti, devo forse distinguere i casi in cui t=0 oppure diverso da 0?
Vi ringrazio!
Risposte
UP Nessuno che mi può aiutare?
Devi scomporre il polinomio come se $t$ fosse una costante.
Comunque con questa matrice può convenire affrontarla con il ragionamento: la riga centrale è già nella forma giusta, i rispettivi elementi sulle altre righe sono tutti $0$ e se $t=3$ il determinante è banalmente uguale a $0$.
Usando la seconda riga è evidente che 2 è una radice di quel polinomio con autovettore $(0,1,0)$. Quindi puoi dividere e portarti ad un polinomio di secondo grado.
Comunque con questa matrice può convenire affrontarla con il ragionamento: la riga centrale è già nella forma giusta, i rispettivi elementi sulle altre righe sono tutti $0$ e se $t=3$ il determinante è banalmente uguale a $0$.
Usando la seconda riga è evidente che 2 è una radice di quel polinomio con autovettore $(0,1,0)$. Quindi puoi dividere e portarti ad un polinomio di secondo grado.
Innanzitutto grazie per la risposta!
Vediamo se ho capito..dici di sfruttare la seconda riga per calcolare il determinante e quindi ottengo
(2-x)[$(2-x)^2$-(t+1)] e qui vedo che x=2 è una soluzione quindi procedo a sostituire x=2
$[[0,0,1],[0,0,0],[t+1,0,0]]$ -> $[[t+1,0,0],[0,0,1],[0,0,0]]$
quindi se t=-1 ho molteplicità geometrica 2 (diversa da molteplicità algebrica che è 1 quindi non è diagonalizzabile)
invece se t diverso da -1 ho molteplicità algebrica uguale a geometrica e quindi diagonalizzabile..
ma per il resto del polinomio?
Vediamo se ho capito..dici di sfruttare la seconda riga per calcolare il determinante e quindi ottengo
(2-x)[$(2-x)^2$-(t+1)] e qui vedo che x=2 è una soluzione quindi procedo a sostituire x=2
$[[0,0,1],[0,0,0],[t+1,0,0]]$ -> $[[t+1,0,0],[0,0,1],[0,0,0]]$
quindi se t=-1 ho molteplicità geometrica 2 (diversa da molteplicità algebrica che è 1 quindi non è diagonalizzabile)
invece se t diverso da -1 ho molteplicità algebrica uguale a geometrica e quindi diagonalizzabile..
ma per il resto del polinomio?
Ah forse ho capito e il resto del polinomio lo svolgo normalmente come polinomio di secondo grado e vado avanti..è giusto?
Quindi per l'altra parte ho $x^2-4x+4-t-1=0$
$x = \frac{4 \pm \sqrt{16 - 4(4-t-1)}}{2}$ = $ \frac{4 \pm \sqrt{4+4t}}{2}$
se t<-1 non ho soluzioni in R
se t=-1 allora x=2 con molteplicità geometrica 2 -> è diagonalizzabile per quanto ho visto prima
se t>-1 ho 2 valori distinti con molteplicità algebrica 1 quindi è diagonalizzabile
Quindi per l'altra parte ho $x^2-4x+4-t-1=0$
$x = \frac{4 \pm \sqrt{16 - 4(4-t-1)}}{2}$ = $ \frac{4 \pm \sqrt{4+4t}}{2}$
se t<-1 non ho soluzioni in R
se t=-1 allora x=2 con molteplicità geometrica 2 -> è diagonalizzabile per quanto ho visto prima
se t>-1 ho 2 valori distinti con molteplicità algebrica 1 quindi è diagonalizzabile
No, non hai capito. Salti troppo velocemente alle conclusioni. Inoltre si capisce poco quale sia la tua effettiva soluzione.
Se hai fatto i calcoli giusti, e considerando i risultati finali direi di si, hai \((2-x)(x^2 - 4x + 4 - t - 1)\). Per \(t<-1\) hai due radici complesse e una reale, quindi non è diagonalizzabile. Se \(t=-1\) hai \((2-x)(x^2-4x+4) = -(x-2)^3\) quindi \(2\) ha molteplicità algebrica \(3\) e non due (quindi non è diagonalizzabile perché la molteplicità geometrica è 2). Per \(t>-1\) hai gli autovalori \(2\), \(2+\sqrt{1+t}\) e \(2-\sqrt{1+t}\). Siccome sono tre valori distinti allora la matrice è diagonalizzabile. Nota che l'autovalore 2 ha la corretta molteplicità geometrica (ovvero \(1\): la molteplicità geometrica è uguale alla dimensione delle matrice meno il rango).
Se hai fatto i calcoli giusti, e considerando i risultati finali direi di si, hai \((2-x)(x^2 - 4x + 4 - t - 1)\). Per \(t<-1\) hai due radici complesse e una reale, quindi non è diagonalizzabile. Se \(t=-1\) hai \((2-x)(x^2-4x+4) = -(x-2)^3\) quindi \(2\) ha molteplicità algebrica \(3\) e non due (quindi non è diagonalizzabile perché la molteplicità geometrica è 2). Per \(t>-1\) hai gli autovalori \(2\), \(2+\sqrt{1+t}\) e \(2-\sqrt{1+t}\). Siccome sono tre valori distinti allora la matrice è diagonalizzabile. Nota che l'autovalore 2 ha la corretta molteplicità geometrica (ovvero \(1\): la molteplicità geometrica è uguale alla dimensione delle matrice meno il rango).
Perfetto ora ho capito! Grazie infinite per il tuo aiuto! 
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