Diagonalizzazione con incognite
Salve! Devo risolvere un esercizio di algebra lineare che mi chiede per quali valori di $ beta in CC $ la seguente matrice è diagonalizzabile:
$ A= ( ( 1 , 0 , 0 , 0 ),( 0 , 0 , -3*(beta+1)^2 , 0 ),( 0 , 1 , 0 , 1 ),( 0 , 4*(beta+1) , 0 , 4*(beta+1) ) )$ e per quali valori di $ beta $ essa è diagonalizzabile con una matrice reale.
Allora,io mi sono calcolato il polinomio caratteristico che mi risulta $ lambda^2*(1-lambda)*(4*beta+4) $ (calcolando il determinante rispetto alla prima riga)..solo che non so come procedere!
Per quanto riguarda il secondo punto non l'ho proprio capito (ma mi interessa più il primo).
Spero che qualcuno possa aiutarmi!
$ A= ( ( 1 , 0 , 0 , 0 ),( 0 , 0 , -3*(beta+1)^2 , 0 ),( 0 , 1 , 0 , 1 ),( 0 , 4*(beta+1) , 0 , 4*(beta+1) ) )$ e per quali valori di $ beta $ essa è diagonalizzabile con una matrice reale.
Allora,io mi sono calcolato il polinomio caratteristico che mi risulta $ lambda^2*(1-lambda)*(4*beta+4) $ (calcolando il determinante rispetto alla prima riga)..solo che non so come procedere!
Per quanto riguarda il secondo punto non l'ho proprio capito (ma mi interessa più il primo).
Spero che qualcuno possa aiutarmi!
Risposte
Il polinomio deve avere grado $4$ o hai sbagliato i conti o hai sbagliato a scrivere.
Paola
Paola
Mmm..allora riporto i calcoli cosi qualcuno può dirmi dove magari sbaglio:
il polinomio caratteristico è dato da $ p(lambda)=det(A-lambdaI) $ quindi calcolando $ (A-lambdaI) $ ho la matrice
$ A=( ( 1-lambda , 0 , 0 , 0 ),( 0 , -lambda , -3*(beta+1)^2 , 0 ),( 0 , 1 , -lambda , 1 ),( 0 , 4*(beta+1) , 0 , 4*(beta+1)-lambda ) ) $ (e già qui ho notato di non aver sottratto un $ lambda $ al coefficiente di posto (4,4)).
Ora mi calcolo il determinante rispetto alla prima riga:
$ (-1)^(1+1)*(1-lambda)*det( ( -lambda , -3*(beta+1)^2 , 0 ),( 1 , -lambda , 1 ),( 4*(beta+1) , 0 , 4*(beta+1)-lambda ) ) $
e facendo i calcoli ottengo:
$ p(lambda)=(1-lambda)*(lambda^2)*(4*beta+4-lambda) $
Ora non so se devo tenerlo cosi o come devo procedere..se qualcuno può aiutarmi gliene sarei grato!!
il polinomio caratteristico è dato da $ p(lambda)=det(A-lambdaI) $ quindi calcolando $ (A-lambdaI) $ ho la matrice
$ A=( ( 1-lambda , 0 , 0 , 0 ),( 0 , -lambda , -3*(beta+1)^2 , 0 ),( 0 , 1 , -lambda , 1 ),( 0 , 4*(beta+1) , 0 , 4*(beta+1)-lambda ) ) $ (e già qui ho notato di non aver sottratto un $ lambda $ al coefficiente di posto (4,4)).
Ora mi calcolo il determinante rispetto alla prima riga:
$ (-1)^(1+1)*(1-lambda)*det( ( -lambda , -3*(beta+1)^2 , 0 ),( 1 , -lambda , 1 ),( 4*(beta+1) , 0 , 4*(beta+1)-lambda ) ) $
e facendo i calcoli ottengo:
$ p(lambda)=(1-lambda)*(lambda^2)*(4*beta+4-lambda) $
Ora non so se devo tenerlo cosi o come devo procedere..se qualcuno può aiutarmi gliene sarei grato!!
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