Diagonalizzazione...
ciao a tutti volevo fare una domanda... se ho un'applicazione lineare $phi:RR^3 rarr$ $RR^3$ e mi capita che esce soltanto un autovalore appartenete a $RR$ e gli altri due appartenenti a $CC$. $phi$ è diagonalizzabile giusto?
Risposte
Io direi di no invece. Gli autovalori devono appartenere tutti al corpo in cui si lavora.
Ma poi scusa, prova a pensarci un attimo: se hai un elemento \(\displaystyle v \) di \(\displaystyle \mathbb{R}^{3} \), le sue coordinate sono tre reali. Un autovalore complesso relativo a \(\displaystyle v \) implicherebbe un'immagine di \(\displaystyle v \) tramite \(\displaystyle \phi \) a componenti complesse, ma lo spazio di arrivo di quell'endomorfismo è ancora chiaramente \(\displaystyle \mathbb{R}^{3} \)!
Ma poi scusa, prova a pensarci un attimo: se hai un elemento \(\displaystyle v \) di \(\displaystyle \mathbb{R}^{3} \), le sue coordinate sono tre reali. Un autovalore complesso relativo a \(\displaystyle v \) implicherebbe un'immagine di \(\displaystyle v \) tramite \(\displaystyle \phi \) a componenti complesse, ma lo spazio di arrivo di quell'endomorfismo è ancora chiaramente \(\displaystyle \mathbb{R}^{3} \)!
ah ho capito...
no perchè pensavo al teorema che dice se $phi$ ha gli autovalori distinti allora è diagonalizzabile... ed in effetti sono distinti, però su campi diversi.... non avevo considerato questa cosa....grazie mille Delirium...
no perchè pensavo al teorema che dice se $phi$ ha gli autovalori distinti allora è diagonalizzabile... ed in effetti sono distinti, però su campi diversi.... non avevo considerato questa cosa....grazie mille Delirium...
Ti cito il I° criterio di diagonalizzazione dal mio quaderno (perdona eventualmente la forma):
"Un endomorfismo \(\displaystyle \phi \) è diagonalizzabile se e solo se tutti gli autovalori di \(\displaystyle \phi \) sono in \(\displaystyle C \) (cioè nel corpo in cui si sta lavorando) e se per ogni autovalore \(\displaystyle c \) la nullità (o molteplicità geometrica) è uguale alla molteplicità algebrica."
Di nulla
"Un endomorfismo \(\displaystyle \phi \) è diagonalizzabile se e solo se tutti gli autovalori di \(\displaystyle \phi \) sono in \(\displaystyle C \) (cioè nel corpo in cui si sta lavorando) e se per ogni autovalore \(\displaystyle c \) la nullità (o molteplicità geometrica) è uguale alla molteplicità algebrica."
Di nulla
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