Diagonalizzazione....
buon pomeriggio, ho un problema a trovare gli autovalori della matrice:
$A=((1,3,6),(-3,-5,-6),(3,3,4))$ scrivo la matrice secondo la regola $|A-lambda I|$:
$|A-lambda I|=|(1-lambda,3,6),(-3,-5-lambda,-6),(3,3,4-lambda)|$ ora scrivo l'equazione caratteristica che risulta essere : $(1-lambda)[(-5-lambda)(4-lambda)+18]-3[-3(4-lambda)+18]+6[-9-3(-5-lambda)]=$
$(1-lambda)(lambda^2+lambda-2)-3(3lambda+6)+6(3lambda+6)=$
$(1-lambda)(lambda^2+lambda-2)+3(3lambda+6)(-1+2)=$
$(1-lambda)(lambda^2+lambda-2)+3(3lambda+6)=$ $-lambda^3+6lambda+16$...provo a scomporre il polinomio ma non si trova ho ricontrollato i calcoli più di una volta ma non riesco a trovare l'errore...
$A=((1,3,6),(-3,-5,-6),(3,3,4))$ scrivo la matrice secondo la regola $|A-lambda I|$:
$|A-lambda I|=|(1-lambda,3,6),(-3,-5-lambda,-6),(3,3,4-lambda)|$ ora scrivo l'equazione caratteristica che risulta essere : $(1-lambda)[(-5-lambda)(4-lambda)+18]-3[-3(4-lambda)+18]+6[-9-3(-5-lambda)]=$
$(1-lambda)(lambda^2+lambda-2)-3(3lambda+6)+6(3lambda+6)=$
$(1-lambda)(lambda^2+lambda-2)+3(3lambda+6)(-1+2)=$
$(1-lambda)(lambda^2+lambda-2)+3(3lambda+6)=$ $-lambda^3+6lambda+16$...provo a scomporre il polinomio ma non si trova ho ricontrollato i calcoli più di una volta ma non riesco a trovare l'errore...
Risposte
Ciao
L'errore dovrebbe essere nell'ultimo passaggio.
[tex](1-\lambda)(\lambda^2+\lambda-2)+3(3\lambda+6)= \lambda^2 + \lambda - 2 - \lambda^3 - \lambda^2 + 2 \lambda + 9 \lambda + 18 = - \lambda^3 + 12 \lambda + 16.[/tex]
D'altronde, ti vorrei ricordare che il coefficiente non corretto puoi anche ottenerlo come:
[tex]- ((a_{11}a_{22} - a_{21}a_{12}) + (a_{22}a_{33} - a_{32}a_{23}) + (a_{11}a_{33} - a_{31}a_{13})) = -(4 -2 -14) = 12,[/tex]
ossia sommando i tre determinanti dei minori di ordine 2 centrati sulla diagonale principale.
Gli autovettori sono quindi 4 e -2(molteplicità 2).
Ora tocca a te
ciao ciao
L'errore dovrebbe essere nell'ultimo passaggio.
[tex](1-\lambda)(\lambda^2+\lambda-2)+3(3\lambda+6)= \lambda^2 + \lambda - 2 - \lambda^3 - \lambda^2 + 2 \lambda + 9 \lambda + 18 = - \lambda^3 + 12 \lambda + 16.[/tex]
D'altronde, ti vorrei ricordare che il coefficiente non corretto puoi anche ottenerlo come:
[tex]- ((a_{11}a_{22} - a_{21}a_{12}) + (a_{22}a_{33} - a_{32}a_{23}) + (a_{11}a_{33} - a_{31}a_{13})) = -(4 -2 -14) = 12,[/tex]
ossia sommando i tre determinanti dei minori di ordine 2 centrati sulla diagonale principale.
Gli autovettori sono quindi 4 e -2(molteplicità 2).
Ora tocca a te
ciao ciao
a parte l'errore finale comunque non si trova l'equazione finale, ho usato il metodo tradizionale per il determinante di una matrice quadrata... Il tuo suggerimento non lo conoscevo prima d'ora...
Si e c'è una regola generale.
Vedi per esempio il seguente link di wiki
http://it.wikipedia.org/wiki/Polinomio_caratteristico
Cosa intendi che non riesci a trovare l'equazione finale?
Non penso che tu intenda il polinomio caretteristico, perché è li
Vedi per esempio il seguente link di wiki
http://it.wikipedia.org/wiki/Polinomio_caratteristico
Cosa intendi che non riesci a trovare l'equazione finale?
Non penso che tu intenda il polinomio caretteristico, perché è li
"domy90":
a parte l'errore finale comunque non si trova l'equazione finale, ho usato il metodo tradizionale per il determinante di una matrice quadrata... Il tuo suggerimento non lo conoscevo prima d'ora...
Lo puoi scomporre con Ruffini se non sai il metodo generale (come il 90% delle persone)
.
Ora si trova!!!! mi usciva $-lambda^3+12lambda+18$ anzicchè scrivere 16 avevo scritto 18....comunque ora si trova...
ho un dubbio però sugli autospazi soprattutto per l'autospazio relativo all'autovalore $4$ scrivendo la matrice e facendo i calcoli giungo al seguente sistema lineare omogeneo:
${(-3x+3y+6z=0),(-3x-9y-6z=0),(3x+3y=0):}$ risolvendolo mi esce ${(z=0),(y=z),(x=-z):}$ quindi ${(z=0),(y=0),(x=0):}$, quindi non esite una base eppure il libro mi dice che esite!!! dove sto sbagliando????
ho un dubbio però sugli autospazi soprattutto per l'autospazio relativo all'autovalore $4$ scrivendo la matrice e facendo i calcoli giungo al seguente sistema lineare omogeneo:
${(-3x+3y+6z=0),(-3x-9y-6z=0),(3x+3y=0):}$ risolvendolo mi esce ${(z=0),(y=z),(x=-z):}$ quindi ${(z=0),(y=0),(x=0):}$, quindi non esite una base eppure il libro mi dice che esite!!! dove sto sbagliando????
"domy90":
Ora si trova!!!! mi usciva $-lambda^3+12lambda+18$ anzicchè scrivere 16 avevo scritto 18....comunque ora si trova...
ho un dubbio però sugli autospazi soprattutto per l'autospazio relativo all'autovalore $4$ scrivendo la matrice e facendo i calcoli giungo al seguente sistema lineare omogeneo:
${(-3x+3y+6z=0),(-3x-9y-6z=0),(3x+3y=0):}$ risolvendolo mi esce ${(z=0),(y=z),(x=-z):}$ quindi ${(z=0),(y=0),(x=0):}$, quindi non esite una base eppure il libro mi dice che esite!!! dove sto sbagliando????
Ho calcolato velocemente ma a me viene:
$ { ( x = t ),( y = -t ),( z = t ):} $ quindi il versore sarebbe $1/(sqrt 3)(1,-1,1)$
il libro dice che la base è proprio $B_(V_4):{(1,-1,1)}$
ho provato a ricalcolare e mi viene ${(x=z),(y=-z),(z=0):}$; si trova se non fosse per $z=0$!!! secondo me sbaglio qualcosa non è che quando ho la soluzione $z=0$ si intende $z=z$?????
ho provato a ricalcolare e mi viene ${(x=z),(y=-z),(z=0):}$; si trova se non fosse per $z=0$!!! secondo me sbaglio qualcosa non è che quando ho la soluzione $z=0$ si intende $z=z$?????
Scusa ma dove ti è uscito il $z = 0$?
Io primo ho notato che $3x=-3y$ dalla terza, poi ho sostituito nella prima e ho ricavato $6x = 6z$...
Io primo ho notato che $3x=-3y$ dalla terza, poi ho sostituito nella prima e ho ricavato $6x = 6z$...
io ho fatto così: ${(-3x+3y+6z=0),(-3x-9y-6z=0),(3x+3y=0):}$ $rarr$ ${(-3x=-3y-6z ),(-3x-9y-6z=0 ),(3x+3y=0):}$ $rarr$ ${(x=y+2z),(-3y-6z-9y-6z=0),(3x+3y=0):}$ $rarr$ ${(x=y+2z),(12y=-12z),(3x+3y=0):}$ $rarr$ ${(x=z),(y=-z),(3z-3z=0):}$ $rarr$ ${(x=z),(y=-z),(3z=3z):}$
Ma infatti tu non hai trovato $z = 0$ ma $0z=0$ che vuol dire che vale per qualsiasi $z$.
aaah!!!! adesso ho capito!!!!! grazie mille!!!!
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