Diagonalizzazione..

[simone891]

salve a tutti..volevo proporre questo esercizio...Sia data una matrice A invertibile di R alla n,n
1)stabilire la relazione che intercorre tra gli autovalori di A e quelli della sua inversa
grazie mille...

[ViciousGoblin]

io partirei dalla relazione
$det(A^{-1}-\lambda I)=det(A^{-1}(I-\lambda A))=-\lambdadet(A^{-1})det(A-\lambda^{-1} I)$

EDIT corretto un errore

[simone891]

da questa cosa posso dire quindi?

[ViciousGoblin]

"simone89":da questa cosa posso dire quindi?

prima di tutto SCUSA per l'errore algebrico che ora ho corretto - da quanto sopra deduci che se $P(\lambda)$ indica il polinomio caratteristico di $A$ e
$P_1(\lambda)$ il polinomio caratteristico di $A^{-1}$, allora vale la relazione $P_1(\lambda)=-\lambda det(A^{-1}) P(\lambda^-1)$. Da questo viene che
$P_1(\lambda)=0\Leftrightarrow P(\lambda^{-1})=0$

Dato che gli autovalori sono le radici del polinomio caratteristico ...

[simone891]

quindi devono essere praticamente uguali...non ti preocc per l'errore...grazie mille

[ViciousGoblin]

"simone89":quindi devono essere praticamente uguali...non ti preocc per l'errore...grazie mille

FRENA! Dalla relazione sopra si ricava che $\lambda$ e' autovalore per $A^{-1}$ se e solo se $\lambda^{-1}$ e' autovalore per
$A$ - quindi gli autovalori di $A^{1}$ sono i reciproci degli autovalori di $A$