Diagonalizzazione
Ciao a tutti, vi sarei estremeamente grato se mi aiutasse a risolvere qeusto esercizio:
$((1,-2,0,0,0),(3,-4,0,0,a),(0,0,4,2,b),(0,0,-3,-1,c),(0,0,0,0,1))$
calcolare i suoi autovalori e dire per quali valori dei parametri a,b,c la funzione lineare $f_A$ è diagonalizzabile.
Svolgimento:
Siccome so che questa è una matrice "quasi triangolare", gli autovgalori di questa matrice sono dati dall'insieme degli autovalori dei singoli blocchi della diagonale principale. Quindi mi calcolo gli autovalori dei stto-blocchi:
$((1,-2),(3,-4))$ -> gli autovalori sono -1 e -2
$((4,2),(-3,1))$ -> gli autovalori sono 2 ed 1
l'ultimo autovalore, corrispondente all'ultimo elemento della diagonale principale, è 1.
Quindi abbiamo le seguenti molteplicità algebriche: $m_a$(-2)=1, $m_a$(2)=1, $m_a$(-1)=1, $m_a$(1)=2
Ora come procedo? li devo calcolare i relativi autospazi?
come faccio a capire poi quali parametri a,b,c è diagonalizzabile?
Ringrazio anticipatamente per l'aiuto. Spero di riuscire a capire questo esercizio perchè mi è estremamente utile. GRAZIE
$((1,-2,0,0,0),(3,-4,0,0,a),(0,0,4,2,b),(0,0,-3,-1,c),(0,0,0,0,1))$
calcolare i suoi autovalori e dire per quali valori dei parametri a,b,c la funzione lineare $f_A$ è diagonalizzabile.
Svolgimento:
Siccome so che questa è una matrice "quasi triangolare", gli autovgalori di questa matrice sono dati dall'insieme degli autovalori dei singoli blocchi della diagonale principale. Quindi mi calcolo gli autovalori dei stto-blocchi:
$((1,-2),(3,-4))$ -> gli autovalori sono -1 e -2
$((4,2),(-3,1))$ -> gli autovalori sono 2 ed 1
l'ultimo autovalore, corrispondente all'ultimo elemento della diagonale principale, è 1.
Quindi abbiamo le seguenti molteplicità algebriche: $m_a$(-2)=1, $m_a$(2)=1, $m_a$(-1)=1, $m_a$(1)=2
Ora come procedo? li devo calcolare i relativi autospazi?
come faccio a capire poi quali parametri a,b,c è diagonalizzabile?
Ringrazio anticipatamente per l'aiuto. Spero di riuscire a capire questo esercizio perchè mi è estremamente utile. GRAZIE
Risposte
Calcolando gli autospazi relativi ai vari autovalori, puoi costruire una base di autovettori che saranno espressi con i parametri $a,b,c$. Da lì con tutta probabilità li determinerai. Prova!
No: non ti conviene andare a ragionare su tutti gli autovalori. Fai un mare di lavoro inutile.
Dei quattro autovalori, tre hanno molteplicità algebrica 1. Quindi, indipendentemente da $a, b, c$, anche la loro molteplicità geometrica sarà 1. E non ti daranno problemi per quanto riguarda la diagonalizzabilità.
L'unica cosa che ti serve sapere è la molteplicità geometrica dell'autospazio relativo all'autovalore doppio 1, ovvero la dimensione del nucleo di $f_A-1I$, ovvero la dimensione dello spazio delle soluzioni del sistema lineare omogeneo $(A-I)x=0$, come preferisci. In ogni caso, basta calcolare il rango della matrice $A-I$.
Dei quattro autovalori, tre hanno molteplicità algebrica 1. Quindi, indipendentemente da $a, b, c$, anche la loro molteplicità geometrica sarà 1. E non ti daranno problemi per quanto riguarda la diagonalizzabilità.
L'unica cosa che ti serve sapere è la molteplicità geometrica dell'autospazio relativo all'autovalore doppio 1, ovvero la dimensione del nucleo di $f_A-1I$, ovvero la dimensione dello spazio delle soluzioni del sistema lineare omogeneo $(A-I)x=0$, come preferisci. In ogni caso, basta calcolare il rango della matrice $A-I$.
ragazzi a me viene così:
v(1) = $((1,-2,0,0,0),(3,-4,0,0,a),(0,0,4,2,b),(0,0,-3,-1,c),(0,0,0,0,1))$ - $((1,0,0,0,0),(0,1,0,0,0),(0,0,1,0,0),(0,0,0,1,0),(0,0,0,0,1))$ X = 0
ottengo
$((0,-2,0,0,0),(3,-5,0,0,a),(0,0,3,2,b),(0,0,-3,-2,c),(0,0,0,0,0))$ X = 0 Come si risolve?
non capisco come viene sottoforma di sistema!!
v(1) = $((1,-2,0,0,0),(3,-4,0,0,a),(0,0,4,2,b),(0,0,-3,-1,c),(0,0,0,0,1))$ - $((1,0,0,0,0),(0,1,0,0,0),(0,0,1,0,0),(0,0,0,1,0),(0,0,0,0,1))$ X = 0
ottengo
$((0,-2,0,0,0),(3,-5,0,0,a),(0,0,3,2,b),(0,0,-3,-2,c),(0,0,0,0,0))$ X = 0 Come si risolve?
non capisco come viene sottoforma di sistema!!
grazie sergio, ma il rango della matrice a gradini equivalente non è 4?
$((3,-5,0,0,a),(0,-2,0,0,0),(0,0,3,2,b),(0,0,0,0,c+b),(0,0,0,0,0))$ X = 0
in più dovrei anche determinare per quali valori di a,b,c la funzione è diagonalizzabile (dal sistema che mi hai postato) sarebbero questi?
a = -$3x_1$/ $x_5$ , b = (-$3x_3$ -$2x_4$)/ $x_5$ , c = ($3x_3$ +$2x_4$)/ $x_5$
$((3,-5,0,0,a),(0,-2,0,0,0),(0,0,3,2,b),(0,0,0,0,c+b),(0,0,0,0,0))$ X = 0
in più dovrei anche determinare per quali valori di a,b,c la funzione è diagonalizzabile (dal sistema che mi hai postato) sarebbero questi?
a = -$3x_1$/ $x_5$ , b = (-$3x_3$ -$2x_4$)/ $x_5$ , c = ($3x_3$ +$2x_4$)/ $x_5$
Raga niente? nessuno sa dirmi nulla?
E io (se può servire a qualcosa) sono d'accordo con Sergio. Se la riduzione a gradini che ha fatto Tommy è corretta (e a occhio mi pare di sì), allora l'unico modo che quella matrice ha perché il suo rango sia 3 (e quindi il suo nucleo abbia dim. 2) è quello che dice lui. In tutti gli altri casi ci sono 4 pivot e quindi anche il rango è 4.
E se il rango è 4, la molteplicità geometrica di 1 è 1, quindi strettamente minore della molteplicità algebrica e l'endomorfismo non è diagonalizzabile.
E se il rango è 4, la molteplicità geometrica di 1 è 1, quindi strettamente minore della molteplicità algebrica e l'endomorfismo non è diagonalizzabile.
Credo di aver capito... grazie!
non sapevo che essendo il rango = 3 allora la m.g.=2
Comunque nè farò un altro domani, dello stesso tipo, e spero di riuscire a risolverlo da solo.
non sapevo che essendo il rango = 3 allora la m.g.=2
Comunque nè farò un altro domani, dello stesso tipo, e spero di riuscire a risolverlo da solo.
Ciao ragazzi volevo semplicemente ringraziarvi... soprattutto sergio che mi ha dato una mano su questa tipologia di esecizio!
Oggi ho superato l'esame di geometria che dovevo fare
quindi davvero grazie
Oggi ho superato l'esame di geometria che dovevo fare
quindi davvero grazie
Salve ragazzi sono nuovo del forum. Avrei anch'io un problema simile a questo e ho preferito postarlo quì piuttosto che in un altro topic, volevo chiedervi se fosse possibile dare un'occhiata perchè ci sono alcune cose che non mi tornano.
A=$((2,1,0,0),(-3,-2,a,b),(0,0,-2,-1),(0,0,5,4))$
Cacolare gli autovalori e stabilire per quali valori di $a,b$ la funzione lineare $Fa$ è diagonalizzabile.
Calcolati gli autovalori che sono rispettivamente $ +1 , -1$ entrambi con molteplicità algebrica uguale a $2$, mi accingo a calcolarne la rispettiva molteplicità geometrica. Per far si che la matrice sia diagonalizzabile devo verificare che la dimensione degli autospazi relativi ad ogni autovalore sia 2 e quindi che ogni autospazio abbia rango 2.
per l'autovalore $1$
$((1,1,0,0),(-3,-3,a,b),(0,0,-3,-1),(0,0,5,3))$
ma mi sono subito accorto che c'è un minore di ordine $3$ diverso da $0$ indipendentemente dai valori assunti da $a,b$
$|((-3,a,b),(0,-3,-1),(0,5,3))|$ = 12
Quindi posso concludere che la funzione non è diagonalizzabile al variare di $a,b$ oppure c'è qualche errore?
A=$((2,1,0,0),(-3,-2,a,b),(0,0,-2,-1),(0,0,5,4))$
Cacolare gli autovalori e stabilire per quali valori di $a,b$ la funzione lineare $Fa$ è diagonalizzabile.
Calcolati gli autovalori che sono rispettivamente $ +1 , -1$ entrambi con molteplicità algebrica uguale a $2$, mi accingo a calcolarne la rispettiva molteplicità geometrica. Per far si che la matrice sia diagonalizzabile devo verificare che la dimensione degli autospazi relativi ad ogni autovalore sia 2 e quindi che ogni autospazio abbia rango 2.
per l'autovalore $1$
$((1,1,0,0),(-3,-3,a,b),(0,0,-3,-1),(0,0,5,3))$
ma mi sono subito accorto che c'è un minore di ordine $3$ diverso da $0$ indipendentemente dai valori assunti da $a,b$
$|((-3,a,b),(0,-3,-1),(0,5,3))|$ = 12
Quindi posso concludere che la funzione non è diagonalizzabile al variare di $a,b$ oppure c'è qualche errore?
Salve, volevo porvi una domanda riguardo alla diagonalizzazione di un'endomorfismo.
Dopo aver calcolato Polinomio caratteristico ed equazione caratteristica calcolo la molteplicità algebrica, è possobile avere molteplicità algebrica pari a 0? Oppure ho sbagliato qualcosa?
Dopo aver calcolato Polinomio caratteristico ed equazione caratteristica calcolo la molteplicità algebrica, è possobile avere molteplicità algebrica pari a 0? Oppure ho sbagliato qualcosa?
"Tommy86":
$((1,-2),(3,-4))$ -> gli autovalori sono -1 e -2
$((4,2),(-3,1))$ -> gli autovalori sono 2 ed 1
scusa ma come hai trovato qsti autovalori?!?
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