Diagonalizzazione
Salve a tutti. Volevo kiedervi un chiarimento su questo esercizio.
Ho la seguente matrice:
$((1,h,2),(-k,1,0),(h,0,1))$
Devo stabilire x quali valori di h e k la matice è diagonalizzabile.
Trovo gli autovalori, che sono: 1, (1-$sqrt(h(2-k))$) e (1+$sqrt(h(2-k))$)
Ora il prof mi ha detto: ( ma io non ho capito
)
-se h=0 o k=2 gli autovalori sono tutti uguali e la matrice non è diagonalizzabile xkè la molteplicità algebrice è 3 mentre quella geometrica non è 3 poichè proprio x l'autovalore 1 il det è 0 e fino a qua ci sono;
-invece se h$!=$0 o k$!=$2 si hanno 3 autovalori distinti e la matrice è diagonalizzabile. xkè???
grazie
Ho la seguente matrice:
$((1,h,2),(-k,1,0),(h,0,1))$
Devo stabilire x quali valori di h e k la matice è diagonalizzabile.
Trovo gli autovalori, che sono: 1, (1-$sqrt(h(2-k))$) e (1+$sqrt(h(2-k))$)
Ora il prof mi ha detto: ( ma io non ho capito
)-se h=0 o k=2 gli autovalori sono tutti uguali e la matrice non è diagonalizzabile xkè la molteplicità algebrice è 3 mentre quella geometrica non è 3 poichè proprio x l'autovalore 1 il det è 0 e fino a qua ci sono;
-invece se h$!=$0 o k$!=$2 si hanno 3 autovalori distinti e la matrice è diagonalizzabile. xkè???
grazie
Risposte
se una matrice 3x3 ha tre autovalori distinti è diagonalizzabile per forza. Infatti una matrice non è diagonalizzabile solo quando qualche autovalore ha molt. geometrica strettamente inferiore alla corrispondente molt.algebrica. Ma se gli autovalori sono solo 3, necessariamente ognuno di questi ha molt. algebrica 1 e quindi anche molt. geometrica 1.
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