Diagonalizzazione

[davicos]

Salve a tutti,
per dimostrare che un endomorfismo non è diagonalizzabile basta dire che gli autovalori non sono tutti distinti o bisogna anche verificare la molteplicità algebrica e geometrica di ogni autovalore?

Sui testi vedo scritto che se gli autovalori sono distinti allora è diagonalizzabile senza fare alcun controllo circa le molteplicità, mentre se non è diagonalizzabile invece fa i suddetti controlli.
Mi spiegate un pò come si svolge il tutto?
Grazie.

[Magma1]

"davicos": mentre se non è diagonalizzabile invece fa i suddetti controlli.

Presumo volessi scrivere "se gli autovalori non sono tutti distinti, bisogna fare i conti".
Tali conti consistono nel verificare che la molteplicità algebrica e geometrica di ciascuno autovalore coincidano.

"davicos": se gli autovalori sono distinti allora è diagonalizzabile senza fare alcun controllo circa le molteplicità.

Ciò è conseguenza del fatto che

$1<=g(lambda)<=Alg(lambda)$

[davicos]

Si avevo sbagliato a scrivere. Bene grazie!

[InGaussWeTrust]

La presenza di $n$ autovalori distinti è condizione sufficiente per la diagonalizzazione.
Se non hai $n$ autovalori distinti la matrice potrebbe essere diagonalizzabile ma non lo puoi sapere a priori: devi controllare che le molteplicità algebriche e geometriche di ogni autovalore e autospazio associato coincidano. Ciao.

[davicos]

"InGaussWeTrust":La presenza di $n$ autovalori distinti è condizione necessaria e sufficiente per la diagonalizzazione.
Se non hai $n$ autovalori distinti la matrice potrebbe essere diagonalizzabile ma non lo puoi sapere a priori: devi controllare che le molteplicità algebriche e geometriche di ogni autovalore e autospazio associato coincidano. Ciao.

Capito grazie.