Diagonalizzazione
Ciao ragazzi, ho un'applicazione lineare con parametro k. Un punto dell'esercizio mi chiede per k=5, trovare la matrice diagonale ( se esiste ). Io ho calcolato gli autovalori, me ne vengono due: uno che presenta molteplicità algebrica e geometrica diversa, e uno che presenta molteplicità algebrica e geometrica uguale. Questo cosa significa? che la matrice è diagonalizzabile ? aiuto !
Risposte
ciao,
innanzitutto la tua applicazione lineare come è definita ? Qual è l'ordine della matrice ? Perchè questo è un elemento necessario per poter rispondere alla tua domanda.
Ad ogni modo, una matrice $\nxn$ è diagonalizzabile sicuramente se possiede $n$ autovalori distinti, oppure, equivalentemente, se la somma delle molteplicità geometriche è pari a $n$.
innanzitutto la tua applicazione lineare come è definita ? Qual è l'ordine della matrice ? Perchè questo è un elemento necessario per poter rispondere alla tua domanda.
Ad ogni modo, una matrice $\nxn$ è diagonalizzabile sicuramente se possiede $n$ autovalori distinti, oppure, equivalentemente, se la somma delle molteplicità geometriche è pari a $n$.
ho un'endomorfismo in R^3. Calcolando gli autovalori, me ne vengono due su tre uguali. Significa che non è diagonalizzabile ?
E' questa!
Se fossero stati tre distinti : sicuramente era diagonalizzabile
Devi verificare che la molteplicità geometrica di ogni autovalore coincida con la molteplicità algebrica. Se è così, allora è diagonalizzabile, altrimenti no.
Prova a postare la foto che almeno ti dico se è diagonalizzabile o no
@edit: come non detto
Devi verificare che la molteplicità geometrica di ogni autovalore coincida con la molteplicità algebrica. Se è così, allora è diagonalizzabile, altrimenti no.
Prova a postare la foto che almeno ti dico se è diagonalizzabile o no
@edit: come non detto
Non è diagonalizzabile.
Gli autovalori risultano : $\lambda_{1}=5,\lambda_{2}=-2 $, con entrambi molteplicità geometrica pari a $1$. Pertanto, non è diagonalizzabile
Gli autovalori risultano : $\lambda_{1}=5,\lambda_{2}=-2 $, con entrambi molteplicità geometrica pari a $1$. Pertanto, non è diagonalizzabile
Se la molteplicità geometrica di 5 era 2, allora era diagonalizzabile la matrice? e quindi calcolavo i due autospazi, relative basi, poi base spettrale, e diagonalizzavo ?
Un'altra cosa: Ok, non è diagonalizzabile, ma posso calcolare lo stesso gli autospazi giusto ?
Un'altra cosa: Ok, non è diagonalizzabile, ma posso calcolare lo stesso gli autospazi giusto ?
Sì, se era $2$ anche quella geometrica, allora era diagonalizzabile.
Certo che li puoi calcolare: infatti la molteplicità geometrica è proprio la dimensione degli autospazi (che coincide col valore: $m.g=n-rank(A-\lambdaI_{n})$... d'altronde gli autospazi come sono definiti ?
Certo che li puoi calcolare: infatti la molteplicità geometrica è proprio la dimensione degli autospazi (che coincide col valore: $m.g=n-rank(A-\lambdaI_{n})$... d'altronde gli autospazi come sono definiti ?
L'insieme degli elementi di V che presentano autovalore lambda... giusto ?
Formalmente, gli autovettori sono le soluzioni $v$ non banali del sistema lineare: $(A-\lambdaI)x=0$.
Segue da qui che gli autospazi sono definiti come $E_{\lambda}= ker(A-\lambdaI)$, ossia come lo spazio formato dalle soluzioni non banali $(A-\lambdaI)x=0$.
Nota che scrivere $ker(A-\lambdaI)$, oppure $(A-\lambdaI)x=0$ è la stessa cosa ai fini del calcolo, solo che noi stiamo cercando lo spazio delle soluzioni non banali di questo sistema lineare
Segue da qui che gli autospazi sono definiti come $E_{\lambda}= ker(A-\lambdaI)$, ossia come lo spazio formato dalle soluzioni non banali $(A-\lambdaI)x=0$.
Nota che scrivere $ker(A-\lambdaI)$, oppure $(A-\lambdaI)x=0$ è la stessa cosa ai fini del calcolo, solo che noi stiamo cercando lo spazio delle soluzioni non banali di questo sistema lineare
Ho capito, ti ringrazio tanto, mi stai aiutando tantissimo nella preparazione di questo esame.
Scusami per la domanda banale, ma se la molteplicità algebra di un autovalore è 1, necessariamente anche quella geometrica è 1 giusto ?
Scusami per la domanda banale, ma se la molteplicità algebra di un autovalore è 1, necessariamente anche quella geometrica è 1 giusto ?
Sì, questo perché la molteplicità geometrica è sempre minore o uguale di quella algebrica;)
Accedi a tutti gli appunti
Tutor AI: studia meglio e in meno tempo