Diagonalizzare una forma quadratica
ciao a tutti,c'è questo argomanto dell'algebra lineare che non riesce ad entrarmi in testa.Ho studiato la teoria relativa all'algoritmo di diagonalizzazione di lagrange,ma non riesco ad applicarlose voglio diagonalizzare ad esempio la forma quadratica $q(x,y,z)=x^2-2xz-y^2-z^2$ so intanto che la matrice associata a $q$ che è la stessa associata alla forma
bilineare corrispondente è: $ ( ( 1 , 0 , -1 ),( 0 , -1 , 0 ),( -1 , 0 , -1 ) ) $,a questo punto so che devo prendere un elemento di posto $b(e_i,e_i)!=0$ (se c'è).
Ora $b(e_1,e_1)=1$ quindi se ho capito bene posso prendere $e_1$ come primo vettore della base di $RR^3$ che devo cercare.
A questo punto devo effettuare un cambiamento di cordinate utilizzando il vettore trovato,che porti la forma $q$ nella canonica,ma non ho capito come fare,qualcuno puo' darmi un consiglio?
bilineare corrispondente è: $ ( ( 1 , 0 , -1 ),( 0 , -1 , 0 ),( -1 , 0 , -1 ) ) $,a questo punto so che devo prendere un elemento di posto $b(e_i,e_i)!=0$ (se c'è).
Ora $b(e_1,e_1)=1$ quindi se ho capito bene posso prendere $e_1$ come primo vettore della base di $RR^3$ che devo cercare.
A questo punto devo effettuare un cambiamento di cordinate utilizzando il vettore trovato,che porti la forma $q$ nella canonica,ma non ho capito come fare,qualcuno puo' darmi un consiglio?
Risposte
dunque,mi rendo conto di aver scritto un post un po' sintetico e probabilmente ciò a scoraggiato ogni forma di intervento,detto questo cercherò di rendere la faccenda un po' più attraente sperando di invogliare qualcuno a dire la sua sull'argomento
ho pensato che per aiutarvi ad aiutarmi potevo intanto postare un metodo che mi è noto...
prendo la forma quadratica $q(x,y,z)$ e la matrice associata è $A$ definite sopra,so che $b(e_1,e_1)!=0$,allora prendo $e_1$ come primo elemento della base.
La base che sto cercando so che sarà fatta in questo modo: $RR^3=e_1\oplus{e_1}^+$,dove ${e_1}^+$ è il sottospazio ortogonale(scusate se non so scriverlo).
Quindi inizio a trovare un vettore $v=(x,y,z)$ tale che $b(v,e_1)=0->vA( ( 1 ),( 0 ),( 0 ) )$ e mi trovo il sottospazio $x-z=0$ che ha vettori di una base $<(1,0,1),(0,1,0)>$, osservo che $b(v=(0,1,0),v=(0,1,0))!=0$ quindi posso prendere $v=(0,1,0)$ come secondo vettore della base diagonalizzante.
Infine itero il processo trovando un altro vettore $v'$ tale che $b(v',e_1)=0$ e $b(v',v)=0$.Mi ritrovo il sistema del sottospazio associato $ { ( x-z=0 ),( y=0 ):} $ la base è $<(1,0,1)>$ e anche $b(v',v')!=0$
quindi ho che la matrice trovata $P=( ( 1 , 0 , 0 ),( 0 , 1 , 0 ),( 1 , 0 , 1 ) )$ composta dai vettori della base diagonalizzante cercata è la matrice del cambiamento di base,per cui:
$P^tAP=( ( 1 , 0 , 0 ),( 0 , -1 , 0 ),( 0 , 0 , -2 ) )$ e ho trovato la matrice diagonale la cui forma canonica associata è:
$q(x,y,z)=x^2-y^2-2z^2$
Questo è un metodo generico,ora si tratta di applicare il metodo di Lagrange...
il punto di partenza è simile,mi occupo di considerare quali sono gli elementi di posto $a_(i,j)$ non nulli.
posso distinguere tre casi:
se $a_(11)=b(e_1,e_1)!=0$ prendo la base ${e_1,...e_n}$
se$a_(11)=b(e_1,e_1)=0$ ma c'è un $a_(i,i)=b(e_i,e_i)!=0$ per qualche $i$ allora prendo una base permutando i vettori del tipo ${e_i...,e_1,...e_n}$.
infine se $b(e_i,e_i)=0$ per ogni $i$ allora ci sarà un $j$ (oppure sarebbe la forma quadratica nulla) tale che $b(e_i,e_j)!=0$, ad esempio $b(e_1,e_2)!=0$ e la base sarà ${e_1+e_2,e_2,...,e_n}$.
Sia ora $q$ la forma quadratica associata a $b$ e supponiamo di aver trovato una base rispetto alla quale $a_(1,1)!=0$ (il che è in coerenza con l'esercizio),siano $x_1,...x_n$ le cordinate rispetto a tale base,allora la forma quadratica secondo Lagrange (ovvero gli appunti della mia prof su Lagrange...) si scrive i questo modo:
$q(x)=1/a_(11)(a_(11)x_1+a_(12)x_2+...+a_(1n)x_n)^2+q'(x_2,...,x_n)$
ora per induzione esiste una base diagonalizzante per $q'$,sia essa ${c_2,...c_n}$ e sia
$q'(y_2,...y_n)=sum_(j = 2)^(n)beta_jy_j^2 $
il cambio di coordinate
$ y_1= a_(11)x_1+a_(12)x_2+...+a_(1n)x_n$
$y_n=x_i$ per $i=2,...n $
permette di trovare la forma canonica della forma quadratica.
ora provo ad applicare il metodo tenendo presente che la forma quadratica è $q(x,y,z)=x^2-2xz-y^2-z^2$ e la sua forma canonica trovata col metodo generico sopra dovrà essere $q(x,y,z)=x^2-y^2-2z^2$
essendo $a_(11)!=0$ posso prendere la base canonica,quindi $q(x)=1/a_(11)(a_(11)x_1+a_(12)x_2+...+a_(1n)x_n)^2+q'(x_2,...,x_n)->q(x,y,z)=(x-z)^2+q'(y,z)$... giusto?
a questo punto però non capisco come applicare l'algoritmo,dovrei prendere la sottomatrice 2x2 di $b$ per iterare l'algoritmo?
e come è possibile che il primo cambio di coordinate sia $x=y'-z'$? visto che con il procedimento usato prima che mi ha dato la matrice$P=( ( 1 , 0 , 0 ),( 0 , 1 , 0 ),( 1 , 0 , 1 ) )$ il primo cambio di coordinate dovrebbe essere $x=y'+z'$ no?
attendo con ansia il responso degli illustri del forum per luce sulla faccenda e ringrazio qualunque contributo!
ho pensato che per aiutarvi ad aiutarmi potevo intanto postare un metodo che mi è noto...
prendo la forma quadratica $q(x,y,z)$ e la matrice associata è $A$ definite sopra,so che $b(e_1,e_1)!=0$,allora prendo $e_1$ come primo elemento della base.
La base che sto cercando so che sarà fatta in questo modo: $RR^3=e_1\oplus{e_1}^+$,dove ${e_1}^+$ è il sottospazio ortogonale(scusate se non so scriverlo).
Quindi inizio a trovare un vettore $v=(x,y,z)$ tale che $b(v,e_1)=0->vA( ( 1 ),( 0 ),( 0 ) )$ e mi trovo il sottospazio $x-z=0$ che ha vettori di una base $<(1,0,1),(0,1,0)>$, osservo che $b(v=(0,1,0),v=(0,1,0))!=0$ quindi posso prendere $v=(0,1,0)$ come secondo vettore della base diagonalizzante.
Infine itero il processo trovando un altro vettore $v'$ tale che $b(v',e_1)=0$ e $b(v',v)=0$.Mi ritrovo il sistema del sottospazio associato $ { ( x-z=0 ),( y=0 ):} $ la base è $<(1,0,1)>$ e anche $b(v',v')!=0$
quindi ho che la matrice trovata $P=( ( 1 , 0 , 0 ),( 0 , 1 , 0 ),( 1 , 0 , 1 ) )$ composta dai vettori della base diagonalizzante cercata è la matrice del cambiamento di base,per cui:
$P^tAP=( ( 1 , 0 , 0 ),( 0 , -1 , 0 ),( 0 , 0 , -2 ) )$ e ho trovato la matrice diagonale la cui forma canonica associata è:
$q(x,y,z)=x^2-y^2-2z^2$
Questo è un metodo generico,ora si tratta di applicare il metodo di Lagrange...
il punto di partenza è simile,mi occupo di considerare quali sono gli elementi di posto $a_(i,j)$ non nulli.
posso distinguere tre casi:
se $a_(11)=b(e_1,e_1)!=0$ prendo la base ${e_1,...e_n}$
se$a_(11)=b(e_1,e_1)=0$ ma c'è un $a_(i,i)=b(e_i,e_i)!=0$ per qualche $i$ allora prendo una base permutando i vettori del tipo ${e_i...,e_1,...e_n}$.
infine se $b(e_i,e_i)=0$ per ogni $i$ allora ci sarà un $j$ (oppure sarebbe la forma quadratica nulla) tale che $b(e_i,e_j)!=0$, ad esempio $b(e_1,e_2)!=0$ e la base sarà ${e_1+e_2,e_2,...,e_n}$.
Sia ora $q$ la forma quadratica associata a $b$ e supponiamo di aver trovato una base rispetto alla quale $a_(1,1)!=0$ (il che è in coerenza con l'esercizio),siano $x_1,...x_n$ le cordinate rispetto a tale base,allora la forma quadratica secondo Lagrange (ovvero gli appunti della mia prof su Lagrange...) si scrive i questo modo:
$q(x)=1/a_(11)(a_(11)x_1+a_(12)x_2+...+a_(1n)x_n)^2+q'(x_2,...,x_n)$
ora per induzione esiste una base diagonalizzante per $q'$,sia essa ${c_2,...c_n}$ e sia
$q'(y_2,...y_n)=sum_(j = 2)^(n)beta_jy_j^2 $
il cambio di coordinate
$ y_1= a_(11)x_1+a_(12)x_2+...+a_(1n)x_n$
$y_n=x_i$ per $i=2,...n $
permette di trovare la forma canonica della forma quadratica.
ora provo ad applicare il metodo tenendo presente che la forma quadratica è $q(x,y,z)=x^2-2xz-y^2-z^2$ e la sua forma canonica trovata col metodo generico sopra dovrà essere $q(x,y,z)=x^2-y^2-2z^2$
essendo $a_(11)!=0$ posso prendere la base canonica,quindi $q(x)=1/a_(11)(a_(11)x_1+a_(12)x_2+...+a_(1n)x_n)^2+q'(x_2,...,x_n)->q(x,y,z)=(x-z)^2+q'(y,z)$... giusto?
a questo punto però non capisco come applicare l'algoritmo,dovrei prendere la sottomatrice 2x2 di $b$ per iterare l'algoritmo?
e come è possibile che il primo cambio di coordinate sia $x=y'-z'$? visto che con il procedimento usato prima che mi ha dato la matrice$P=( ( 1 , 0 , 0 ),( 0 , 1 , 0 ),( 1 , 0 , 1 ) )$ il primo cambio di coordinate dovrebbe essere $x=y'+z'$ no?
attendo con ansia il responso degli illustri del forum per luce sulla faccenda e ringrazio qualunque contributo!
Se qualcuno mi chiedesse di diagonalizzare quella forma quadratica, allora procederei in questo modo:
La matrice è simmetrica è quindi diagonalizzabile, gli autovalori sono $t_1=sqrt(2)$, $t_2=-sqrt(2)$, $t_3=-1$
In corrispondenza di di ciascun autospazio trovo un autovettore e lo normalizzo.
La base costruita è ortonormale, considero la matrice $P$ che ha come colonne i generatori dei singoli autospazi.
La matrice è ortogonale e quindi $P^-1$=$P^t$
Rispetto a questa base la forma quadratica è la seguente: $q(\barx,\bary,\barz)=sqrt(2)\barx^2-sqrt(2)\bary^2-\barz^2$
La matrice è simmetrica è quindi diagonalizzabile, gli autovalori sono $t_1=sqrt(2)$, $t_2=-sqrt(2)$, $t_3=-1$
In corrispondenza di di ciascun autospazio trovo un autovettore e lo normalizzo.
La base costruita è ortonormale, considero la matrice $P$ che ha come colonne i generatori dei singoli autospazi.
La matrice è ortogonale e quindi $P^-1$=$P^t$
Rispetto a questa base la forma quadratica è la seguente: $q(\barx,\bary,\barz)=sqrt(2)\barx^2-sqrt(2)\bary^2-\barz^2$
"weblan":
Se qualcuno mi chiedesse di diagonalizzare quella forma quadratica, allora procederei in questo modo:
La matrice è simmetrica è quindi diagonalizzabile, gli autovalori sono $t_1=sqrt(2)$, $t_2=-sqrt(2)$, $t_3=-1$
In corrispondenza di di ciascun autospazio trovo un autovettore e lo normalizzo.
La base costruita è ortonormale, considero la matrice $P$ che ha come colonne i generatori dei singoli autospazi.
La matrice è ortogonale e quindi $P^-1$=$P^t$
Rispetto a questa base la forma quadratica è la seguente: $q(\barx,\bary,\barz)=sqrt(2)\barx^2-sqrt(2)\bary^2-\barz^2$
ciao! ti ringrazio per la risposta,
purtroppo ciò che sto studiando è relativo agli spazi vettoriali e non ancora si parla di normalità come per gli spazi euclidei,quindi non potrei risolvere la cosa con il metodo da te descritto
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