Diagonalizzare una forma quadratica
Vi chiedo aiuto su questo esercizio perchè ho un paio di punti che non tanto riesco a comprendere:
sia $q:RR^3->R$ forma quadratica tale che $q(v)=5x^2+y^2+z^2+4xy-4xz-2yz$
mi si chiede di calcolare il nucleo e la segnatura.
Calcolare il nucleo non è un problema, basta calcolare il complemento ortogonale di $RR^3$
Passiamo invece a calcolare la segnatura.
Devo per prima cosa determinare una base che diagonalizzi la forma bilineare associata a $q$
Rispetto alle basi canoniche ho la matrice $A=((5,2,-2),(2,1,-1),(-2,-1,1))$ che è la matrice di $b$
calcolo $b(e_1,e_1)=5$ quindi è non isotropo, e conosco la relazione secondo cui $RR^3=oplus^(\bot)$
sperando di non aver sbagliato i calcoli $^(\bot)=$
$v_2$ è isotropo mentre $b(v_3,v_3)=5/4$ esso è quindi non isotropo.
calcolo $^(\bot)$ ed è lo spazio generato da $v_4(0,1,1)$
quindi $RR^3=oplusoplus$
Calcolo la matrice della $b$ rispetto alla nuova base ortogonale che ho trovato $A'=((5,0,0),(0,5/4,0),(0,0,0))$ e qui il mio dubbio: io credo che questa base non vada bene, perchè $b(v_4,v_4)=0$ mentre io so ceh deve essere diversa da $0$ o no? e se così fosse come mi devo comportare?
altra cosa. Una volta trovata $A'$ come faccio a riportarmi nella forma canonica, di Sylvester?
grazie ancora
sia $q:RR^3->R$ forma quadratica tale che $q(v)=5x^2+y^2+z^2+4xy-4xz-2yz$
mi si chiede di calcolare il nucleo e la segnatura.
Calcolare il nucleo non è un problema, basta calcolare il complemento ortogonale di $RR^3$
Passiamo invece a calcolare la segnatura.
Devo per prima cosa determinare una base che diagonalizzi la forma bilineare associata a $q$
Rispetto alle basi canoniche ho la matrice $A=((5,2,-2),(2,1,-1),(-2,-1,1))$ che è la matrice di $b$
calcolo $b(e_1,e_1)=5$ quindi è non isotropo, e conosco la relazione secondo cui $RR^3=
sperando di non aver sbagliato i calcoli $
$v_2$ è isotropo mentre $b(v_3,v_3)=5/4$ esso è quindi non isotropo.
calcolo $
quindi $RR^3=
Calcolo la matrice della $b$ rispetto alla nuova base ortogonale che ho trovato $A'=((5,0,0),(0,5/4,0),(0,0,0))$ e qui il mio dubbio: io credo che questa base non vada bene, perchè $b(v_4,v_4)=0$ mentre io so ceh deve essere diversa da $0$ o no? e se così fosse come mi devo comportare?
altra cosa. Una volta trovata $A'$ come faccio a riportarmi nella forma canonica, di Sylvester?
grazie ancora
Risposte
A parte i conti che non ho controllato, è giusto che la matrice $A'$ deve avere rango $2$ perchè essa è congruente ad $A$ (cioè tale che $A'=M^TAM$ con $M$ non singolare). Quindi $A$ e $A'$ devono avere lo stesso rango, cioè appunto $2$.
Non mi ricordo bene se la forma canonica di Sylvester è del tipo $B=((I_s, 0, 0),(0,-I_p,0),(0,0,0))$, con $B$ quadrata dello stesso ordine di $A$ e $s+p=rank(A)$ con segnatura di $A$ data da $(s,p)$. Giusto?
Nel tuo caso la segnatura è $(2,0)$. Ti basta dividere i tuoi vettori $e_1$ ed $e_2$ rispettivamente per $sqrt(b(e_1,e_1))$ e $sqrt(b(e_2,e_2))$, ottenendo la nuova base $e'_1, e'_2, v_4$ in cui la matrice è nella forma canonica di Sylvester.
Spero di non avere detto fesserie. Ciao!
Non mi ricordo bene se la forma canonica di Sylvester è del tipo $B=((I_s, 0, 0),(0,-I_p,0),(0,0,0))$, con $B$ quadrata dello stesso ordine di $A$ e $s+p=rank(A)$ con segnatura di $A$ data da $(s,p)$. Giusto?
Nel tuo caso la segnatura è $(2,0)$. Ti basta dividere i tuoi vettori $e_1$ ed $e_2$ rispettivamente per $sqrt(b(e_1,e_1))$ e $sqrt(b(e_2,e_2))$, ottenendo la nuova base $e'_1, e'_2, v_4$ in cui la matrice è nella forma canonica di Sylvester.
Spero di non avere detto fesserie. Ciao!
Ti ringrazio anzitutto della risposta, e poi ti confermo tutto ciò che hai detto e di cui non eri ben certo.
Quindi una matrice ortogonale che diagonalizza una forma quadratica (o equivalentemente una forma bilineare) è congruente ad una matrice diagonale e non simile come accadeva nel caso degli endomorfismi giusto?
altra cosa: mentre nel caso degli endomorfismi la matrice che diagonalizzava era la matrice degli autovettori in questo casa per determinare $M$ come devo fare? E' per caso la matrice di passaggio dalla base considerata ad una base ortonormale?
grazie ancora!
Quindi una matrice ortogonale che diagonalizza una forma quadratica (o equivalentemente una forma bilineare) è congruente ad una matrice diagonale e non simile come accadeva nel caso degli endomorfismi giusto?
altra cosa: mentre nel caso degli endomorfismi la matrice che diagonalizzava era la matrice degli autovettori in questo casa per determinare $M$ come devo fare? E' per caso la matrice di passaggio dalla base considerata ad una base ortonormale?
grazie ancora!
"mistake89":
Quindi una matrice ortogonale che diagonalizza una forma quadratica (o equivalentemente una forma bilineare) è congruente ad una matrice diagonale e non simile come accadeva nel caso degli endomorfismi giusto?
Credo di sì. Unico appunto: si tratta di forme bilineari simmetriche per le quali puoi considerare la forma quadratica associata e compagnia bella. Se non sono simmetriche credo che la cosa non funzioni.
"mistake89":
altra cosa: mentre nel caso degli endomorfismi la matrice che diagonalizzava era la matrice degli autovettori in questo casa per determinare $M$ come devo fare? E' per caso la matrice di passaggio dalla base considerata ad una base ortonormale?
Sì. Anche qui un appunto: la matrice di passaggio da quella iniziale a quella ortogonale. Non è detto che la base sia ortonormale (se non nel caso complesso con forme quadratiche non degeneri). Nel caso reale per esempio, se l'indice di negatività (si chiama così? boh!) nella segnatura è non nullo, ci sono vettori $v$ per cui $q(v)=-1$, ma non troverai una base $(e_i)$ di vettori per cui $b(e_i, e_j)=\delta_{ij}$.
Spero di non aver detto cavolate...
"mistake89":
grazie ancora!
Prego!
mmm sì hai detto bene, è stata solo una svista nella digitazione(circa le basi ortonormali). Grazie ancora chiarissimo come al solito
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