Diagonalizzare una forma quadratica

[Søren13]

Ciao a tutti, stavo cercando di diagonalizzare la seguente forma quadratica: $q(x,y) = 3x^2-8xy-3y^2$. Per farlo ho trovato i relativi autovalori che sono +5 e -5. Ho scoperto che i relativi autospazi sono della forma (-t, -2t) e (-2t, t). Quindi una base diagonalizzante è formata dai vettori (-1,-2) e (-2,1), giusto? Non sono del tutto convinto di aver svolto correttamente l'esercizio (il procedimento è corretto?) infatti l'esercizio mi chiede di diagonalizzare la forma quadratica determinando il relativo cambio di coordinate (cosa che non mi sembra di aver fatto), inoltre il risultato mi viene diverso dal libro dunque... Mi sembra di aver fatto un po' di confusione. E se il procedimento è corretto dalla mia base come scrivo la matrice diagonalizzta?
Grazie!

[Magma1]

Per ogni matrice $A$ $nxxn$ simmetrica, esiste una matrice ortogonale $M$ $nxxn$ tale che

$M^(T)A M:=D$, dove $M=M_(ef)$

Dove $f$ è la base ortonormale di autovettori:

$f:={((-2/sqrt(5)),(1/sqrt(5))), ((-1/sqrt(5)),(-2/sqrt(5)))}$

Quindi

$M=M_(ef)=( ( -2/sqrt(5) , -1/sqrt(5) ),( 1/sqrt(5) , -2/sqrt(5) ) ) $


$M^TAM=D=((5,0),(0,-5))$

Ed il cambiamento di variabili richiesto è il seguente:

$((x),(y))= ( ( -2/sqrt(5) , -1/sqrt(5) ),( 1/sqrt(5) , -2/sqrt(5) ) )((z),(t)) hArr{ ( x=-2/sqrt(5)z-1/sqrt(5)t),( y=1/sqrt(5)z-2/sqrt(5)t ):} $

Per cui

$q(z,t)=5z^2-5t^2$

[Søren13]

Il risultato viene diverso dal libro (verrebbe $q(x',y') = 3x'^2-25/3y'^2$) ma immagino sia colpa dei miei calcoli precedenti, magari avrò sbagliato gli autospazi, comunque ti ringrazio moltissimo, ora ho capito.
Dovevo trovare la basa ortonormale, scrivere la matrice associata, poi fare quel prodotto e ho finito.
Grazie mille!

[Magma1]

Ma l'espressione di partenza è giusta? Anche a me vengo gli autovalori $lambda=+-5$ e l'espressione canonica deve essere del tipo $q(x,y)=lambda_1x^2+lambda_2y^2$; $lambda_1, lambda_2 in RR$.

[Søren13]

Sì, è giusta.