Diagonalizzare matrice in F11

[Nucnele]

Se io mi trovo una matrice da diagonalizzare in F11 (11 sta al pedice) che differenza ho nel calcolarla in F (senza pedice)?

Ho ben capito come si diagonalizza una matrice e come si prova se è diagonalizzabile, ma non capisco la differenza se invece di diagonalizzare in F mi trovo a diagonalizzare in F11.

Qualcuno mi saprebbe dire qualcosa in merito? Che differenza c'è nello svolgimento? Grazie mille!

Ovviamente l'esempio vale per F11 come per F7 o F8 o qualsiasi altro.

[ciampax]

Ma $F$ ed $F_j$ cosa sono????

[Nucnele]

Sono i campi in cui si diagonalizza...

[ciampax]

Sì, ok, avevo intuito una cosa del genere. Ma quali campi sono? Cosa intendi con tale notazione? Quando si fa una domanda e si usano notazioni particolari, sarebbe sempre meglio spiegarle, in quanto non è detto che tutti conoscano quelle che usi tu. Immagino che $F_j$ potrebbe essere sia il campo con i resti modulo $j$, ma potrebbe anche essere un campo finito di $j$ elementi. Quindi ripeto: cosa intendi?

[Nucnele]

Eh.. Purtroppo la mia domanda deriva da dei compiti d'esame di Algebra Lineare e ho trovato un esercizio che dice "Si provi che "matrice" è diagonalizzabile in $F_11$" . Non so dirti a cosa si riferisca esattamente perchè dovrei chiederlo al professore stesso. Suppongo però si tratti di risolvere la matrice in un campo {0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10}. Non ho bisogno di tutto l'esercizio svolto.. vorrei capire solo come va avviato. Magari se hai un pò di pazienza dimmi più o meno in entrambi i casi come andrebbe avviato. Ti ringrazio!

[Nucnele]

Credo di aver raggiunto la conclusione che il procedimento è uguale. Però quando trovo le radici del polinomio caratteristico devo controllare se fanno parte del campo in cui sto diagonalizzando (esempio $F_11$). Se trovo autovalori 5 e 12 allora 12 non fa parte del campo e quindi la matrice non è diagonalizzabile. Sto errando? Qualcuno può confermare? Grazie

[ciampax]

Se trovi $12$ questo in $F_{11}$ equivale a $1$.... Ecco perché continuo a ripeterti che bisogna capire bene di cosa stiamo parlando. Scrivi magari tutto l'esercizio.

[Nucnele]

Ne ho preso uno più semplice possibile. La traccia dice questo:

1) Si provi che (matrice 2x2) $((3 , 4),(6 , 0))$ $in$ $F_7$ non è diagonalizzabile in $F_7$.

Se non ho preso i calcoli di un altro esercizio allora gli autovalori sono $\lambda_(1,2)$=(3$+-$$sqrt105$)/2


2) Si provi che (matrice 5x5) $((3,5,0,0,0),(2,1,0,0,0),(0,0,9,0,0),(0,0,0,3,6),(0,0,0,4,7))$ $in$ $F_11$ non è diagonalizzabile in $F_11$.

[ciampax]

Io continuo a non capire se quei campi sono le classi resto modulo un primo o altro. In ogni caso, non avrei calcolato gli autovalori in quel modo, per cui c'è qualcosa che continua a non tornarmi. A questo punto spero che qualcun altro possa aiutarti, perché io non ho idea di cosa tu stia parlando. Perdonami, ma mi secca che tu ancora non abbia risposto ad una semplice domanda che ti ho fatto, per cui lascio la palla a qualcuno che magari conosce le tue notazioni e non ha bisogno di ulteriori spiegazioni.

[Nucnele]

Ti ho detto che non so a cosa si riferisce il professore. Quella è la traccia.

Un collega mi ha detto che bisogna sostituire i valori da 0 a 6 (primo esercizio) e se esce un multiplo di 7 allora quello è un autovalore.

[Nucnele]

Ovviamente poi bisogna controllare molteplicità algebrica e geometrica.