Diagonalizzabilità matrice con parametro
Un saluto a tutti quanti,
nello svolgere il seguente esercizio ho trovato risultati diversi da quelli del libro, ma non mi pare di commettere errori,avrete sicuramente l'occhio più fine di me :
Trova per quali $ k in RR $ è diagonalizzabile la matrice
$ A_k = ( ( 1 , 0 , 0 , 0 ),( 1 , 2 , 0 , 0 ),( 0 , k , 2 , 0 ),( 0 , 0 , 1 , 3 ) ) $
Dunque abbiamo che
$det (A_k - \lambda I_4) = det ( ( 1- \lambda , 0 , 0 , 0 ),( 1 , 2- \lambda , 0 , 0 ),( 0 , k , 2- \lambda , 0 ),( 0 , 0 , 1 , 3- \lambda ) ) = (1- \lambda) det ( ( 2- \lambda , 0 , 0 ),( k , 2- \lambda , 0 ),( 0 , 1 , 3- \lambda ) )- (1)det ( ( 0 , 0 , 0 ),( k , 2- \lambda , 0 ),( 0 , 1 , 3- \lambda ) ) = (1- \lambda) det ( ( 2- \lambda , 0 , 0 ),( k , 2- \lambda , 0 ),( 0 , 1 , 3- \lambda ) ) =$
Qui viene il bello :
$ = (1- \lambda) { (2- \lambda) det ( (2- \lambda, 0) ,(1, 3- \lambda)) - (k) det ((0,0),(1, 3-lambda))} = (1- \lambda) { (2- \lambda) det ( (2- \lambda, 0) ,(1, 3- \lambda))} $
Quindi la diagonalizzabilità di $A_k$ non dipende da $k$,infatti proseguendo i calcoli ho trovato $4$ valori distinti di $\lambda in RR$, perciò $A_k$ è sempre diagonalizzabile su $RR$ $ AA k in RR $ .
Al contrario la soluzione del libro afferma che $A_k$ è diagonalizzabile se e solo se $k=0$.
Vi ringrazio molto in anticipo..
nello svolgere il seguente esercizio ho trovato risultati diversi da quelli del libro, ma non mi pare di commettere errori,avrete sicuramente l'occhio più fine di me :
Trova per quali $ k in RR $ è diagonalizzabile la matrice
$ A_k = ( ( 1 , 0 , 0 , 0 ),( 1 , 2 , 0 , 0 ),( 0 , k , 2 , 0 ),( 0 , 0 , 1 , 3 ) ) $
Dunque abbiamo che
$det (A_k - \lambda I_4) = det ( ( 1- \lambda , 0 , 0 , 0 ),( 1 , 2- \lambda , 0 , 0 ),( 0 , k , 2- \lambda , 0 ),( 0 , 0 , 1 , 3- \lambda ) ) = (1- \lambda) det ( ( 2- \lambda , 0 , 0 ),( k , 2- \lambda , 0 ),( 0 , 1 , 3- \lambda ) )- (1)det ( ( 0 , 0 , 0 ),( k , 2- \lambda , 0 ),( 0 , 1 , 3- \lambda ) ) = (1- \lambda) det ( ( 2- \lambda , 0 , 0 ),( k , 2- \lambda , 0 ),( 0 , 1 , 3- \lambda ) ) =$
Qui viene il bello :
$ = (1- \lambda) { (2- \lambda) det ( (2- \lambda, 0) ,(1, 3- \lambda)) - (k) det ((0,0),(1, 3-lambda))} = (1- \lambda) { (2- \lambda) det ( (2- \lambda, 0) ,(1, 3- \lambda))} $
Quindi la diagonalizzabilità di $A_k$ non dipende da $k$,infatti proseguendo i calcoli ho trovato $4$ valori distinti di $\lambda in RR$, perciò $A_k$ è sempre diagonalizzabile su $RR$ $ AA k in RR $ .
Al contrario la soluzione del libro afferma che $A_k$ è diagonalizzabile se e solo se $k=0$.
Vi ringrazio molto in anticipo..
Risposte
Proprio nessuno ha qualche idea in proposito? 
Si ha $det(A_k -lambda*I_4)= (1-lambda)(2-lambda)^2(3-lambda)$
Il problema è rappresentato dall'autovalore $lambda=2$
In questo caso la molteplicità algebrica è $2$, la molteplicità geometrica dipende invece da $k$.
$A_k -2*I_4=( ( -1 , 0 , 0 , 0 ),( 1 ,0 , 0 , 0 ),( 0 , k , 0 , 0 ),( 0 , 0 , 1 , 1 ) ) $
Bisogna trovare $k$ in modo tale che il rango di questa matrice sia $2$
Il problema è rappresentato dall'autovalore $lambda=2$
In questo caso la molteplicità algebrica è $2$, la molteplicità geometrica dipende invece da $k$.
$A_k -2*I_4=( ( -1 , 0 , 0 , 0 ),( 1 ,0 , 0 , 0 ),( 0 , k , 0 , 0 ),( 0 , 0 , 1 , 1 ) ) $
Bisogna trovare $k$ in modo tale che il rango di questa matrice sia $2$
Mi limito ad osservare una cosa, che forse può tornare utile a Pazzuzu nei conti: la matrice $A_k$ è triangolare superiore, dunque il polinomio caratteristico e gli autovalori si possono scrivere immediatamente, senza nessun conto.
Ti ringrazio moltissimo Gi8, forse più avanti ho sbagliato qualche conto perchè ho trovato 4 autovalori tutti di molteplicità 1,ecco perchè per qualsiasi $k$ ero sicuro di poter diagonalizzare sempre $A_k$.
Paolo non capisco che intendi, io vedo che $(2,1) !=0 \bigwedge (4,3) !=0$ ...
edit: "Quindi la diagonalizzabilità di $A_k$ non dipende da k":
Mi rendo conto che questa frase perchè sia vera deve essere messa dopo "infatti proseguendo i calcoli ho trovato 4 valori distinti di $\lambda$ " ...
Paolo non capisco che intendi, io vedo che $(2,1) !=0 \bigwedge (4,3) !=0$ ...
edit: "Quindi la diagonalizzabilità di $A_k$ non dipende da k":
Mi rendo conto che questa frase perchè sia vera deve essere messa dopo "infatti proseguendo i calcoli ho trovato 4 valori distinti di $\lambda$ " ...
"Pazzuzu":
Ti ringrazio moltissimo Gi8, forse più avanti ho sbagliato qualche conto perchè ho trovato 4 autovalori tutti di molteplicità 1,ecco perchè per qualsiasi $k$ ero sicuro di poter diagonalizzare sempre $A_k$.
Paolo non capisco che intendi, io vedo che $(2,1) !=0 \bigwedge (4,3) !=0$ ...
Non riesco a leggere bene quello che hai scritto. Comunque, non puoi aver trovato quattro autovalori di molteplicità 1. Il motivo è quello che ti dicevo nel mio precedente post. La matrice è triangolare superiore, dunque si vedono ad occhio gli autovalori: sono gli elementi sulla diagonale principale, cioè $1$,$2$ (con molteplicità algebrica doppia) e $3$. Quindi, per la nota disuguaglianza che lega molteplicità algebrica e geometrica, l'unico autovalore da "controllare" (cioè che potrebbe darci problemi) è 2, come ti ha già suggerito Gi8.
Paolo infatti prima ho scritto che sicuramente ho commesso errori di calcolo letterale nello sviluppare il polinomio caratteristico Perchè $A_k$ sia triangolare superiore non dovrebbe avere tutti gli elementi sotto la diagonale principale nulli? L'elemento all'incrocio tra la seconda riga e la prima colonna per esempio non è nullo...p.s. Mi rendo conto ora che sono nulli però tutti quelli sopra la diagonale principale..Ti ringrazio per il consiglio Paolo, è un risultato che non conoscevo ancora..
Perchè $A_k$ sia triangolare superiore non dovrebbe avere tutti gli elementi sotto la diagonale principale nulli? L'elemento all'incrocio tra la seconda riga e la prima colonna per esempio non è nullo...p.s. Mi rendo conto ora che sono nulli però tutti quelli sopra la diagonale principale..Ti ringrazio per il consiglio Paolo, è un risultato che non conoscevo ancora..
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