Diagonalizzabilità in funzione di un parametro.
non riesco a risolvere gli esercizi del tipo indicato, ovvero mi è data una matrice dipendente da un parametro al variare del quale devo discutere la diagonalizzabilità.
ho letto gli altri topic ma applicando i procedimenti agli esercizi fallisco miseramente =)
Il procedimento che seguo è il seguente:
1) osservo se per qualche scelta del parametro la matrice è simmetrica, in tal caso infatti sarebbe sicuramente diagonalizzabile.
2) scrivo la matrice $A-\lambdaI$ e guardo se attraverso l'algoritmo di gauss riesco a semplificare la matrice in modo da avere una scrittura più agevole del polinomio caratteristico
3) Scrivo il polinomio caratteristico e cerco le soluzioni al variare di $\lambda$
un esercizio come esempio è il seguente :
al variare di a discutere la diagonalizzabilità di $ ( ( a-1 , 2a , a ),( 0 , a-1 , 0 ),( 2 , a+2 , 1 ) ) $
1) per nessun valore di a la matrice è simmetrica
2) $ ( ( a-1-\lambda , 2a , a ),( 0 , a-1-\lambda , 0 ),( 2 , a+2 , 1-\lambda ) ) $
potrei non fare nessuna operazione di semplificazione dato che nella seconda riga ho due zeri, tuttavia provando a fare direttamente il determinante mi veniva un polinomio che non sapevo scomporre, allora ho deciso di sottrare alla prima riga la terza ottenendo :
$ ( ( a-3-\lambda , a-2 , a-1-\lambda ),( 0 , a-1-\lambda , 0 ),( 2 , a+2 , 1-\lambda ) ) $
3) svolgo il determinante tramite l'algoritmo di laplace per riga ( prendo la seconda ) e scomponendo ottengo:
$(\lambda+1-a)(\lambda^2-(a+1)\lambda-a-1)=0 $ per il secondo polinomio $ \Delta = (a+1)(a+5) $ ( ho saltato un pò di passaggi )
e dunque ottengo $ \lambda =a-1$ $ \lambda= a+1\pm\sqrt{(a+1)(a+5)} $
e a questo punto rimane solo da gestirsi i valori di a per cui o ho tre autovalori distinti oppure ho soddisfatte le condizioni del criterio di diagonalizzabilità, molteplicità algebriche uguali a qelle geometriche e somma delle molt. algebriche uguale alla dimensione dello spazio in cui mi trovo.
quidi io ho distinto i casi seguenti:
$ se a= 0 $ ho tre autovalori distinti quindi è diagonalizzabile
$ se a=1 ho \lambda = 0 $ con molteplicità algebrica 1 e $ \lambda =1$ con molteplicità algebrica 2
$ se a=5 ho \lambda =4 $ con molteplicità algebrica 1 e$ \lambda =3 $ con molteplicità algebrica 2
negli ultimi due controllerò le molteplicità geometriche.
il mio dubbio è se così facendo ho controllato tutti i casi oppure no, non riesco a capire come essere certa di aver considerato tutte le situazioni..
riscrivendolo credo che il primo caso $ a = 0 $, se non sbaglio, in realtà si presenta per tutti gli $a != 1 e 5$
ho letto gli altri topic ma applicando i procedimenti agli esercizi fallisco miseramente =)
Il procedimento che seguo è il seguente:
1) osservo se per qualche scelta del parametro la matrice è simmetrica, in tal caso infatti sarebbe sicuramente diagonalizzabile.
2) scrivo la matrice $A-\lambdaI$ e guardo se attraverso l'algoritmo di gauss riesco a semplificare la matrice in modo da avere una scrittura più agevole del polinomio caratteristico
3) Scrivo il polinomio caratteristico e cerco le soluzioni al variare di $\lambda$
un esercizio come esempio è il seguente :
al variare di a discutere la diagonalizzabilità di $ ( ( a-1 , 2a , a ),( 0 , a-1 , 0 ),( 2 , a+2 , 1 ) ) $
1) per nessun valore di a la matrice è simmetrica
2) $ ( ( a-1-\lambda , 2a , a ),( 0 , a-1-\lambda , 0 ),( 2 , a+2 , 1-\lambda ) ) $
potrei non fare nessuna operazione di semplificazione dato che nella seconda riga ho due zeri, tuttavia provando a fare direttamente il determinante mi veniva un polinomio che non sapevo scomporre, allora ho deciso di sottrare alla prima riga la terza ottenendo :
$ ( ( a-3-\lambda , a-2 , a-1-\lambda ),( 0 , a-1-\lambda , 0 ),( 2 , a+2 , 1-\lambda ) ) $
3) svolgo il determinante tramite l'algoritmo di laplace per riga ( prendo la seconda ) e scomponendo ottengo:
$(\lambda+1-a)(\lambda^2-(a+1)\lambda-a-1)=0 $ per il secondo polinomio $ \Delta = (a+1)(a+5) $ ( ho saltato un pò di passaggi )
e dunque ottengo $ \lambda =a-1$ $ \lambda= a+1\pm\sqrt{(a+1)(a+5)} $
e a questo punto rimane solo da gestirsi i valori di a per cui o ho tre autovalori distinti oppure ho soddisfatte le condizioni del criterio di diagonalizzabilità, molteplicità algebriche uguali a qelle geometriche e somma delle molt. algebriche uguale alla dimensione dello spazio in cui mi trovo.
quidi io ho distinto i casi seguenti:
$ se a= 0 $ ho tre autovalori distinti quindi è diagonalizzabile
$ se a=1 ho \lambda = 0 $ con molteplicità algebrica 1 e $ \lambda =1$ con molteplicità algebrica 2
$ se a=5 ho \lambda =4 $ con molteplicità algebrica 1 e$ \lambda =3 $ con molteplicità algebrica 2
negli ultimi due controllerò le molteplicità geometriche.
il mio dubbio è se così facendo ho controllato tutti i casi oppure no, non riesco a capire come essere certa di aver considerato tutte le situazioni..
riscrivendolo credo che il primo caso $ a = 0 $, se non sbaglio, in realtà si presenta per tutti gli $a != 1 e 5$
Risposte
C'è un errore: l'elemento $a_{13}$ deve essere $a-1+lambda$
Comunque l'operazione tra prima e terza riga la vedo inutile.
Comunque l'operazione tra prima e terza riga la vedo inutile.
Proviamo a vedere passo passo:
$|X-A|=| ( x-a+1 , -2a , -a ),( 0 , x-a+1 , 0 ),( -2 , x-a-2 , x-1 ) |=(x-a+1)[(x-a+1)(x-1) -2a]=$
$=(x-a+1)[x^2-ax -a-1]=>\{(x=a-1),(x=(a+sqrt(a^2+4a+4))/2),(x=(a-sqrt(a^2+4a+4))/2):}=\{(x=a-1),(x=a+1),(x=-1):}$
Perché a te son venuti tutti diversi?
$|X-A|=| ( x-a+1 , -2a , -a ),( 0 , x-a+1 , 0 ),( -2 , x-a-2 , x-1 ) |=(x-a+1)[(x-a+1)(x-1) -2a]=$
$=(x-a+1)[x^2-ax -a-1]=>\{(x=a-1),(x=(a+sqrt(a^2+4a+4))/2),(x=(a-sqrt(a^2+4a+4))/2):}=\{(x=a-1),(x=a+1),(x=-1):}$
Perché a te son venuti tutti diversi?
l'elemento a13 deve essere a−1+λops =) grazie per avermelo fatto notare !
"Maci86":
Proviamo a vedere passo passo:
$ |X-A|=| ( x-a+1 , -2a , -a ),( 0 , x-a+1 , 0 ),( -2 , x-a-2 , x-1 ) |=(x-a+1)[(x-a+1)(x-1) -2a]= $
$ =(x-a+1)[x^2-ax -a-1]=>\{(x=a-1),(x=(a+sqrt(a^2+4a+4))/2),(x=(a-sqrt(a^2+4a+4))/2):}=\{(x=a-1),(x=a+1),(x=-1):} $
Perché a te son venuti tutti diversi?
uhm.. non ho capito un paio di cose..
io sapevo che il polinomio caratteristico era dato da $det(A-\lambdaI)=0$ se non ho capito male tu hai fatto $det(\lambdaI-A)=0$ come mai ? è analogo ?
comunque se il procedimento è corretto provo a rivedere i calcoli.. se continuo a non riuscire a ottenere una soluzione "sensata" posterò tutti i passaggi, grazie mille =D
Si, me l'hanno insegnato così, ma non cambia nulla, lo zero non ha segno, no?! 
Beh, i miei calcoli sono quelli che ho scritto, ci trovi qualcosa di strano?
Beh, i miei calcoli sono quelli che ho scritto, ci trovi qualcosa di strano?
ho svolto nuovamente tutti i calcoli, senza fare l' operazione fra la prima e la terza riga e ho trovato i tuoi medesimi rusultati, a questo punto posso dire che se $a!=0$ e $a!=-2$ la matrice sarà sicuramente diagonalizzabile perchè ammette tre autovalori distinti, mentre nei casi $a=0$ oppure $a=-2$ devo controllare la dimenione degli autospazi per avere $\mu_a = \mu_g$.
per quest'ultimo passaggio andrò a calcolarmi la $dim(ker(A-\lambda_iI))$ sostituendo nella matrice $A$ i due valori in questione, giusto ?
per quest'ultimo passaggio andrò a calcolarmi la $dim(ker(A-\lambda_iI))$ sostituendo nella matrice $A$ i due valori in questione, giusto ?
Bravissimo!
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