Diagonalizzabilità - esercizio

[Den3b51]

Salve, non riesco a risolvere un esercizio sulla diagonalizzabilità.. probabilmente sbaglio qualcosa ma non riesco proprio a capire cosa..

1 - Determinare per quali valori di k la seguente matrice è diagonalizzabile sul campo reale

$ Ak = ( ( k , 0 , -2k ),( 1 , 2 , 0 ),( -1 , -1 , 1 ) ) $

2 - Trovare, se esistono, una matrice diagonale D ed una matrice invertibile P tali che $ P^-1\cdot A1 \cdot P = D $ (A1 è A con 1 sostituito al posto di k)

1 - Secondo i miei calcoli il determinante è $ x(x - k -2)(1-x) $ quindi gli autovalori sono:
$ lambda = 0 $
$ lambda = 1 $
$ lambda = k+2 $

Sostituisco k = -1, ho quindi $ lambda = 1 $ con molteplicità 2, calcolo la dimensione dell'autospazio associato a $ lambda = 1 $ e viene 1, quindi non è diagonalizzabile per k = -1.

Sostituisco k = -2, ho quindi $ lambda = 0 $ con molteplicità 2, calcolo la dimensione dell'autospazio associato a $ lambda = 0 $ e viene 1, quindi non è diagonalizzabile per k = -2.

La matrice è diagonalizzabile $ AA k $ appartenente ad R - {-1, -2}.

Fin qui tutto ok.

2 - Dalla teoria so che "La matrice diagonalizzante P ha per colonne gli autovettori linearmente indipendenti di M" (in questo caso A1)

Sostituisco 1 a k:
$ A1 = ( ( 1 , 0 , -2 ),( 1 , 2 , 0 ),( -1 , -1 , 1 ) ) $

Calcolo l'autovetore per $ lambda = 0 $ e mi viene 0.

Ma non può essere zero, se lo fosse P non potrebbe essere invertibile perché avrebbe determinante nullo, o sbaglio?

Non capisco :S

[minomic]

Ciao, ti ricordo che un autovettore $v$ relativo all'autovalore $\lambda$ è tale che $$Av = \lambda v \quad\Rightarrow\quad \left(A-\lambda I\right)v = 0 \quad\Rightarrow\quad v \in \operatorname{Ker}\left(A-\lambda I\right)$$
Se $\lambda =0$ tu devi trovare il nucleo (kernel) di $A$, cioè una combinazione lineare delle sue colonne che dia il vettore nullo. Con un po' di occhio (o con un sistema) puoi scrivere $$\begin{bmatrix}2\\-1\\1\end{bmatrix}$$ e questo è l'autovettore relativo all'autovalore $\lambda = 0$.