Diagonalizzabilità e operatori simmetrici
Buonasera a tutti,
avrei una domanda sulla teoria degli operatori simmetrici. Per il teorema spettrale reale, un operatore $T\in\text{Op}(V)$ è simmetrico se e solo se esiste una base ortonormale di $V$ di autovettori di $T$. Dunque, se non esiste una simile base, l'operatore non è simmetrico.
Tuttavia, prendiamo l'operatore $T$ definito su $\mathbb{R}^3$ con matrice associata
\(M_e(T)=\begin{pmatrix}
0 & 4 & 0 \\
0 & 5 & -1 \\
0 & 1 & 1
\end{pmatrix}\)
rispetto alla base canonica $e$. Passando alla base $b=\{(1,1,1),(1,1,0),(1,0,1)\}$, che è chiaramente non ortonormale, la matrice associata a $T$ diventa
\(M_b(T)=\begin{pmatrix}
2 & 2 & 0 \\
2 & 3 & -1 \\
0 & -1 & 1
\end{pmatrix}\).
Ora, nonostante l'operatore non sia simmetrico (chiaro il motivo: perché la matrice associata rispetto alla base canonica, che è ortonormale, non è simmetrica), $M_b(T)$ è simmetrica. Dunque, sempre per il teorema spettrale reale, $M_b(T)$ è simile a una matrice diagonale mediante una matrice ortogonale e i suoi autovettori sono:
Questi vettori sono ortogonali fra loro, dunque normalizzandoli otterremmo una base ortonormale di $\mathbb{R}^3$ di autovettori di $T$, contraddicendo il teorema spettrale reale!
Dove sbaglio? È una giornata intera che cerco una soluzione. Grazie mille in anticipo!
avrei una domanda sulla teoria degli operatori simmetrici. Per il teorema spettrale reale, un operatore $T\in\text{Op}(V)$ è simmetrico se e solo se esiste una base ortonormale di $V$ di autovettori di $T$. Dunque, se non esiste una simile base, l'operatore non è simmetrico.
Tuttavia, prendiamo l'operatore $T$ definito su $\mathbb{R}^3$ con matrice associata
\(M_e(T)=\begin{pmatrix}
0 & 4 & 0 \\
0 & 5 & -1 \\
0 & 1 & 1
\end{pmatrix}\)
rispetto alla base canonica $e$. Passando alla base $b=\{(1,1,1),(1,1,0),(1,0,1)\}$, che è chiaramente non ortonormale, la matrice associata a $T$ diventa
\(M_b(T)=\begin{pmatrix}
2 & 2 & 0 \\
2 & 3 & -1 \\
0 & -1 & 1
\end{pmatrix}\).
Ora, nonostante l'operatore non sia simmetrico (chiaro il motivo: perché la matrice associata rispetto alla base canonica, che è ortonormale, non è simmetrica), $M_b(T)$ è simmetrica. Dunque, sempre per il teorema spettrale reale, $M_b(T)$ è simile a una matrice diagonale mediante una matrice ortogonale e i suoi autovettori sono:
$(-1+\sqrt(3),-2+\sqrt(3),1), (-1-\sqrt(3),-2-\sqrt(3),1), (-1,1,1)$.
Questi vettori sono ortogonali fra loro, dunque normalizzandoli otterremmo una base ortonormale di $\mathbb{R}^3$ di autovettori di $T$, contraddicendo il teorema spettrale reale!
Dove sbaglio? È una giornata intera che cerco una soluzione. Grazie mille in anticipo!
Risposte
Se non vedo male: questi ultimi sono le coordinate degli autovettori nella base non canonica \(b\) e non gli autovettori in sé...
È vero...! 
Ho fatto il calcolo e rispetto alla base canonica non sono affatto ortogonali. Ma quindi gli autovettori vanno sempre riferiti alla base canonica?
Ho fatto il calcolo e rispetto alla base canonica non sono affatto ortogonali. Ma quindi gli autovettori vanno sempre riferiti alla base canonica?
"_clockwise":Assolutamente no!
[...] Ma quindi gli autovettori vanno sempre riferiti alla base canonica?
Vanno sempre riferiti rispetto alla base in cui stai rappresentando il tuo endomorfismo lineare!
Secondo me è più chiaro se pensi all'algebra delle matrici.
Se hai una matrice $A$ e cambi base ottieni una cosa del tipo
$B^(-1) A B$
Se poi cambi base usando una base ortonormale hai una cosa del tipo
$C^t B^(-1) A B C$
dove il $t$ indica il trasposto.
Se capita che $B^(-1)=B^t$ (cioè se il primo cambio di base è ortonormale) allora la matrice finale è
$C^t B^t A B C =(BC)^t A (BC)$
e quindi è ottenuta da $A$ tramite un cambio di base ortonormale.
Ma se $B^(-1) ne B^t$ non puoi dire niente.
Se hai una matrice $A$ e cambi base ottieni una cosa del tipo
$B^(-1) A B$
Se poi cambi base usando una base ortonormale hai una cosa del tipo
$C^t B^(-1) A B C$
dove il $t$ indica il trasposto.
Se capita che $B^(-1)=B^t$ (cioè se il primo cambio di base è ortonormale) allora la matrice finale è
$C^t B^t A B C =(BC)^t A (BC)$
e quindi è ottenuta da $A$ tramite un cambio di base ortonormale.
Ma se $B^(-1) ne B^t$ non puoi dire niente.
Perfetto, grazie a entrambi. Buone feste!
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