Diagonalizzabilità e autospazio
ragazzi questo è per me il capitolo piu' ostico del programma di geometria e algebra lineare;sto considerando un po di esempi per cercare di capire qualcosa e ho un paio di tipologie di esercizi che non riesco proprio a impostare,Vi chiedo per favore se qualcuno ha voglia di guidarmi un po' verso la soluzione!
ho la matrice in gunzione di un parametro $A=((2,1,0,0),(1,2,h,0),(0,0,1,2),(0,0,2,1))$ ho trovato con un po?di fatica gli autovalori con wolfram,(avevo già aperto un topic quindi non ne parlo),questi sono$\lambda=-1$,$\lambda=1$,$\lambda=3$
-ora devo determinare per quali h la matrice è diagonalizzabile..esiste una regola generale?perchè sui miei appunti libri e dipense non ho esercizi pratici di questo argomento.
-posto h=0,devo determinare dimensione,eq.cartesiane ed una base per ogni autospazio di A.L'autospazio è l'insieme degli autovettori giusto?un autovettore in funzione di un autovalore lo scrivo come $L(v)=\lambda*v$ giusto? ma come determino l'autospazio?
vi prego di guidarmi verso un ragionamento sensato,poichè sono piuttosto nel panico gente..grazie
ho la matrice in gunzione di un parametro $A=((2,1,0,0),(1,2,h,0),(0,0,1,2),(0,0,2,1))$ ho trovato con un po?di fatica gli autovalori con wolfram,(avevo già aperto un topic quindi non ne parlo),questi sono$\lambda=-1$,$\lambda=1$,$\lambda=3$
-ora devo determinare per quali h la matrice è diagonalizzabile..esiste una regola generale?perchè sui miei appunti libri e dipense non ho esercizi pratici di questo argomento.
-posto h=0,devo determinare dimensione,eq.cartesiane ed una base per ogni autospazio di A.L'autospazio è l'insieme degli autovettori giusto?un autovettore in funzione di un autovalore lo scrivo come $L(v)=\lambda*v$ giusto? ma come determino l'autospazio?
vi prego di guidarmi verso un ragionamento sensato,poichè sono piuttosto nel panico gente..grazie
Risposte
La dimensione dell'ambiente è $4$. Se hai solo $3$ radici reali (contate con molteplicità), allora $f$ NON è diagonalizzabile.
non mi è molto chiaro,come sottolineato precedentemente,l'argomento mi è un po' ostico..
Condizione necessaria e sufficiente perché un'applicazione sia diagonallizabile:
_ che il polinomio caratteristico ammetta $n=dimV$ radici reali, contate con molteplicità
_ per ogni $lambda$ autovalore, $dimV_lambda=$molteplicità algebrica
Poi ti devi ricordare che se $f: V->V$ ammette $n=dimV$ autovalori DISTINTI, allora $f$ è diagonalizzabile.
Prova a postare qualche esercizio, in modo che tu possa capire con qualche esempio pratico.
_ che il polinomio caratteristico ammetta $n=dimV$ radici reali, contate con molteplicità
_ per ogni $lambda$ autovalore, $dimV_lambda=$molteplicità algebrica
Poi ti devi ricordare che se $f: V->V$ ammette $n=dimV$ autovalori DISTINTI, allora $f$ è diagonalizzabile.
Prova a postare qualche esercizio, in modo che tu possa capire con qualche esempio pratico.
è la continuazione di quello dell'altro topic,ti ringrazio già per la disponibilità!
per quale h ha matrice è diagonalizzabile? $A=((2,1,0,0),(1,2,h,0),(0,0,1,2),(0,0,2,1))$ e abbiamo trovato gli autovalori che sono $\lambda=-1$,$\lambda=1$,$\lambda=3$ anche se a me escono altri valori..comunque
però siccome non ho idea di come sia la diagonale del det del polinomio caratteristica non riesco a valutare la molteplicità algebrica..la molt geometrica invece dovrebbe esser qualcosa del tipo $\vi=n-Rg(A-I)$ vero?
per quale h ha matrice è diagonalizzabile? $A=((2,1,0,0),(1,2,h,0),(0,0,1,2),(0,0,2,1))$ e abbiamo trovato gli autovalori che sono $\lambda=-1$,$\lambda=1$,$\lambda=3$ anche se a me escono altri valori..comunque
però siccome non ho idea di come sia la diagonale del det del polinomio caratteristica non riesco a valutare la molteplicità algebrica..la molt geometrica invece dovrebbe esser qualcosa del tipo $\vi=n-Rg(A-I)$ vero?
$dimV_lambda=dimV-rg(A-lambdaI)$
Comunque, ti ripeto, se hai qualche altro esercizio, postalo, così puoi chiarirti i dubbi.
Comunque, ti ripeto, se hai qualche altro esercizio, postalo, così puoi chiarirti i dubbi.
ecco: posto che h=0 determinare la dimensione ,le eq. cartesiane ed una base per ciascun autospazio di A (la matrice è quella sopra ovviamente)
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