Diagonalizzabilità di una matrice con incognite
Ciao a tutti,
Ho un esercizio di geometria che non riesco a risolvere (o meglio non so come risolvere)
L'esercizio è il seguente:
Si consideri la matrice A= $ ( ( 2 , 3 , 0 , 0 ),( -1 , -2 , 0 , 0 ),( a , 0 , -1 , -3 ),( 0 , b , 2 , 4 ) ) $
dire per quali valori dei parametri a e b, la matrice è diagonalizzabile.
So che bisogna trovare i parametri a,b tali che la somma delle dimensioni degli autospazi degli autovalori sia uguale a 4....ma come si fa?
Vi prego di aiutarmi....l'esame è alle porte
Grazie
Ho un esercizio di geometria che non riesco a risolvere (o meglio non so come risolvere)
L'esercizio è il seguente:
Si consideri la matrice A= $ ( ( 2 , 3 , 0 , 0 ),( -1 , -2 , 0 , 0 ),( a , 0 , -1 , -3 ),( 0 , b , 2 , 4 ) ) $
dire per quali valori dei parametri a e b, la matrice è diagonalizzabile.
So che bisogna trovare i parametri a,b tali che la somma delle dimensioni degli autospazi degli autovalori sia uguale a 4....ma come si fa?
Vi prego di aiutarmi....l'esame è alle porte
Grazie
Risposte
Innanzitutto benvenuto anche a te. 
Bene. E' un buon inizio.
Inizia a trovare gli autovalori della tua matrice. Sai come si fa?
"andyoso":
So che bisogna trovare i parametri a,b tali che la somma delle dimensioni degli autospazi degli autovalori sia uguale a 4....ma come si fa?
Bene. E' un buon inizio.
Inizia a trovare gli autovalori della tua matrice. Sai come si fa?
"cirasa":
Innanzitutto benvenuto anche a te.
[quote="andyoso"]So che bisogna trovare i parametri a,b tali che la somma delle dimensioni degli autospazi degli autovalori sia uguale a 4....ma come si fa?
Bene. E' un buon inizio.
Inizia a trovare gli autovalori della tua matrice. Sai come si fa?[/quote]
Grazie per il benvenuto (e per avermi risposto)
Si, gli autovalori li riesco ancora a calcolare...sono 1 e -2 con molteplicità algebrica 1, e 2 con molteplicità algebrica 2.
...e ora?
Ho fatto fare i conti ad un programma al pc e mi dice la tua matrice $A$ ha autovalori $-1$, $2$ (entrambi con molteplicità algebrica $1$) e $1$ (con molteplicità algebrica $2$).
Sei sicuro di aver fatto bene i conti?
Sei sicuro di aver fatto bene i conti?
"cirasa":
Ho fatto fare i conti ad un programma al pc e mi dice la tua matrice $A$ ha autovalori $-1$, $2$ (entrambi con molteplicità algebrica $1$) e $1$ (con molteplicità algebrica $2$).
Sei sicuro di aver fatto bene i conti?
mmm... ho utilizzato le sottomatrici diagonali $ ( ( 2 , 3 ),( -1 , -2 ) ) $ e $ ( ( -1 , -3 ),( 2 , 4 ) ) $
dalla prima matrice mi ritrovo:
$ (2-t)(-2-t)+3= -4 -2t +2t +t^2 $ = $ t^2 -4 $ -->$ t= 2 $ $ t=-2 $
dalla seconda invece:
$ (1-t)(4-t)+6= -4 +t -4t +t^2 $ = $ t^2 -3t +2 $ --> $ t=1 $ $ t=2 $
Sbaglio qualcosa?
Hai dimenticato di sommare $3$ nella prima sottomatrice quadrata.
"cirasa":
Hai dimenticato di sommare $3$ nella prima sottomatrice quadrata.
ops....comunque si, ora mi trovo -1 e 2 molteplicità 1 e 2 molteplicità 2
ora?
"andyoso":
[quote="cirasa"]Hai dimenticato di sommare $3$ nella prima sottomatrice quadrata.
ops....comunque si, ora mi trovo -1 e 2 molteplicità 1 e 2 molteplicità 2
ora?[/quote]
Altra svista: ...e $1$ con molteplicità algebrica $2$.
Bene. A questo punto, domanda:
Quale può essere la molteplicità geometrica dell'autovalore $-1$? E dell'autovalore $2$?
Dai un'occhiata alla teoria e la risposta vien da sè...poi andiamo avanti.
"cirasa":
[quote="andyoso"][quote="cirasa"]Hai dimenticato di sommare $3$ nella prima sottomatrice quadrata.
ops....comunque si, ora mi trovo -1 e 2 molteplicità 1 e 2 molteplicità 2
ora?[/quote]
Altra svista: ...e $1$ con molteplicità algebrica $2$.
Bene. A questo punto, domanda:
Quale può essere la molteplicità geometrica dell'autovalore $-1$? E dell'autovalore $2$?
Dai un'occhiata alla teoria e la risposta vien da sè...poi andiamo avanti.[/quote]
Vabbè questa è semplice
nel caso in cui un autovalore x ha molteplicità algebrica =1 (nel nostro caso -1 e 2) abbiamo che:
$ ma(x)=1=mg(x) $
"andyoso":
Vabbè questa è semplice
Bene. Fin'ora non è stato faticoso.
Adesso la parte difficile (scherzo ovviamente
):La molteplicità geometrica dell'autovalore $1$ può essere $1$ o $2$ (perchè $1\le m_{g} (1)\le m_a(1)=2$, dove $m_g$ ed $m_a$ sono le molteplicità geometrica e algebrica risp.).
Come si fa a calcolare tale molteplicità? Si calcola l'autospazio relativo all'autovalore $1$ e si trova la sua dimensione.
E come si fa a trovare l'autospazio? Si risolve il sistema (lineare omogeneo) $(A-lambdaI)v=0$ con $lambda=1$.
Sai andare avanti da solo?
"cirasa":
[quote="andyoso"]Vabbè questa è semplice
Bene. Fin'ora non è stato faticoso.
Adesso la parte difficile (scherzo ovviamente
):La molteplicità geometrica dell'autovalore $1$ può essere $1$ o $2$ (perchè $1\le m_{g} (1)\le m_a(1)=2$, dove $m_g$ ed $m_a$ sono le molteplicità geometrica e algebrica risp.).
Come si fa a calcolare tale molteplicità? Si calcola l'autospazio relativo all'autovalore $1$ e si trova la sua dimensione.
E come si fa a trovare l'autospazio? Si risolve il sistema (lineare omogeneo) $(A-lambdaI)v=0$ con $lambda=1$.
Sai andare avanti da solo?[/quote]
Per trovare la molteplicità geometrica di 1 risolvo il sistema derivante dalla seguente matrice:
A= $ ( ( 2-1 , 3 , 0 , 0 ),( -1 , -2-1 , 0 , 0 ),( a , 0 , -1-1 , -3 ),( 0 , b , 2 , 4-1 ) ) $ = $ ( ( 1 , 3 , 0 , 0 ),( -1 , -3 , 0 , 0 ),( a , 0 , -2 , -3 ),( 0 , b , 2 , 3 ) ) $
che è uguale al seguente sistema:
$ { ( x +3y = 0 ),( -x -3y=0 ),( ax -2z -3u = 0 ),( by +2z +3u=0 ):} $
e da qui il dilemma.....come vado avanti?
cioè se non ci fossero stati a e b, la cosa era abbastanza semplice...bastava risolvere il sistema, e di conseguenza mi trovavo l'autospazio V(1) e la sua dimensione.
Ma con a e b non so come ragionare
Innanzitutto studia quante soluzioni devi aspettarti, cioè applica il teorema di Rouchè-Capelli.
Esso ammette $infty^{4-rg(A)}$ dove $rg(A)$ è il rango della matrice $A$ dei coefficienti del sistema (e quindi la molteplicità geometrica di $V_1$ è $4-rg(A)$).
Otterrai che naturalmente $rg(A)$ dipende da $a$ e $b$.
Poi se ti va (ma non è indispensabile), puoi trovare le effettive soluzioni del sistema a seconda dei casi e quindi trovare una base di $V_1$.
Ora devo andare via.
Se avrò tempo e se nel frattempo non ti avrà aiutato qualche altro utente, domani proseguiremo.
Esso ammette $infty^{4-rg(A)}$ dove $rg(A)$ è il rango della matrice $A$ dei coefficienti del sistema (e quindi la molteplicità geometrica di $V_1$ è $4-rg(A)$).
Otterrai che naturalmente $rg(A)$ dipende da $a$ e $b$.
Poi se ti va (ma non è indispensabile), puoi trovare le effettive soluzioni del sistema a seconda dei casi e quindi trovare una base di $V_1$.
Ora devo andare via.
Se avrò tempo e se nel frattempo non ti avrà aiutato qualche altro utente, domani proseguiremo.
Allora da quello che ho capito, partendo dalla matrice: $ A-(I-1) = ( ( 1 , 3 , 0 , 0 ),( -1 , -3 , 0 , 0 ),( a , 0 , -2 , -3 ),( 0 , b , 2 , 3 ) ) $
Iniziamo a calcolarci il rango di questa matrice.
Visto che il determinante di questa matrice è uguale a 0, allora il rango è minore di 4.
ciò significa che ci sono due o più righe linearmente dipendenti.
ed effettivamente ci sono la prima e seconda riga $ ( 1 , 3 , 0 , 0 ) $ e $ ( -1 , -3 , 0 , 0 ) $ che sono dipendenti.
Eliminiamo quindi una riga...a questo punto ho una matrice così composta: $ ( ( 1 , 3 , 0 , 0 ),( a , 0 , -2 , -3 ),( 0 , b , 2 , 3 ) ) $
che ha un rango minore o uguale a 3...ma a me interessa che sia uguale a 2.
Devo trovare quindi una a e una b tali che, esista una riga della matrice dipendente dalle restanti.
se $ a=0 $ e $ b=0 $
abbiamo che $ ( ( 1 , 3 , 0 , 0 ),( 0 , 0 , -2 , -3 ),( 0 , 0 , 2 , 3 ) ) $
la riga 2 e la riga 3 sono dipendenti....eliminiamo dunque una riga, e abbiamo dunque: $ ( ( 1 , 3 , 0 , 0 ),( 0 , 0 , 2 , 3 ) ) $
che è linearmente indipendente, e ciò implica che il rango della matrice è 2.
Da quello che hai detto allora la molteplicità geometrica di 1 è 4-2=2 che è anche la molteplicità algebrica di 1.
Quindi concludiamo che per $ a=b=0 $ la matrice è diagonalizzabile.
Premetto che se ho capito bene, ti faccio una statua d'oro!!
Allora devo iniziare a costruirla questa statua??...o devo attendere un altro pò??
P.S. in ogni caso grazie lo stesso per il supporto di oggi
Iniziamo a calcolarci il rango di questa matrice.
Visto che il determinante di questa matrice è uguale a 0, allora il rango è minore di 4.
ciò significa che ci sono due o più righe linearmente dipendenti.
ed effettivamente ci sono la prima e seconda riga $ ( 1 , 3 , 0 , 0 ) $ e $ ( -1 , -3 , 0 , 0 ) $ che sono dipendenti.
Eliminiamo quindi una riga...a questo punto ho una matrice così composta: $ ( ( 1 , 3 , 0 , 0 ),( a , 0 , -2 , -3 ),( 0 , b , 2 , 3 ) ) $
che ha un rango minore o uguale a 3...ma a me interessa che sia uguale a 2.
Devo trovare quindi una a e una b tali che, esista una riga della matrice dipendente dalle restanti.
se $ a=0 $ e $ b=0 $
abbiamo che $ ( ( 1 , 3 , 0 , 0 ),( 0 , 0 , -2 , -3 ),( 0 , 0 , 2 , 3 ) ) $
la riga 2 e la riga 3 sono dipendenti....eliminiamo dunque una riga, e abbiamo dunque: $ ( ( 1 , 3 , 0 , 0 ),( 0 , 0 , 2 , 3 ) ) $
che è linearmente indipendente, e ciò implica che il rango della matrice è 2.
"cirasa":
(e quindi la molteplicità geometrica di $V_1$ è $4-rg(A)$).
Da quello che hai detto allora la molteplicità geometrica di 1 è 4-2=2 che è anche la molteplicità algebrica di 1.
Quindi concludiamo che per $ a=b=0 $ la matrice è diagonalizzabile.
Premetto che se ho capito bene, ti faccio una statua d'oro!!
Allora devo iniziare a costruirla questa statua??...o devo attendere un altro pò??
P.S. in ogni caso grazie lo stesso per il supporto di oggi
"andyoso":
Allora devo iniziare a costruirla questa statua??...o devo attendere un altro pò??
No, nessuna statua per ora.
Non hai ancora finito.
Hai trovato che per $a=b=0$ la matrice è diagonalizzabile. Bene.
E per tutti gli altri valori di $a$ e $b$ che succede?
Devi finire di trovare il rango della matrice al variare di $a$ e $b$. Non basta trovare tale rango solo per $a=b=0$.
"cirasa":
[quote="andyoso"]Allora devo iniziare a costruirla questa statua??...o devo attendere un altro pò??
No, nessuna statua per ora.
Non hai ancora finito.
Hai trovato che per $a=b=0$ la matrice è diagonalizzabile. Bene.
E per tutti gli altri valori di $a$ e $b$ che succede?
Devi finire di trovare il rango della matrice al variare di $a$ e $b$. Non basta trovare tale rango solo per $a=b=0$.[/quote]
e come dovrei fare allora?
Usare il metodo dei minori orlati (o metodo di Kronecker) per il calcolo del rango.
Ne ho parlato tempo fa, precisamente in questo thread.
Nella discussione in questione (dovrebbe essere il mio terzo intervento) c'è un esempio di calcolo del rango di una matrice al variare di un parametro.
Con due parametri è la stessa cosa.
Ne ho parlato tempo fa, precisamente in questo thread.
Nella discussione in questione (dovrebbe essere il mio terzo intervento) c'è un esempio di calcolo del rango di una matrice al variare di un parametro.
Con due parametri è la stessa cosa.
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