Diagonalizzabilità di un endomorfismo e matrici associate.
Salve, a breve dovrei fare lo scritto di Geometria 1 e volevo chiedervi un metodo di risoluzione per il seguente esercizio. Soprattutto per il punti b) e c).
Si consideri l’endomorfismo f : R4 ! R4 definito da
f(x, y, z, t) = (t, 0, t + z − x, t).
a) Stabilire se f `e diagonalizzabile;
b) Dire quali delle seguenti matrici sono associate ad f rispetto ad un’opportuna
base di R4, specificando di quale base si tratta:
A1 =
0 0 0 0
0 1 0 0
0 0 1 0
0 0 0 1
A2 =
0 0 0 0
0 1 0 0
0 0 −1 0
0 0 0 −1
A3 =
0 0 0 0
0 1 0 0
0 0 1 0
0 0 0 0
c) Posto W =< (1, 0, 0, 1), (1, 1, 1, 0) >, determinare la dimensione del sottospazio
f$-1$(W) di R4.
Si consideri l’endomorfismo f : R4 ! R4 definito da
f(x, y, z, t) = (t, 0, t + z − x, t).
a) Stabilire se f `e diagonalizzabile;
b) Dire quali delle seguenti matrici sono associate ad f rispetto ad un’opportuna
base di R4, specificando di quale base si tratta:
A1 =
0 0 0 0
0 1 0 0
0 0 1 0
0 0 0 1
A2 =
0 0 0 0
0 1 0 0
0 0 −1 0
0 0 0 −1
A3 =
0 0 0 0
0 1 0 0
0 0 1 0
0 0 0 0
c) Posto W =< (1, 0, 0, 1), (1, 1, 1, 0) >, determinare la dimensione del sottospazio
f$-1$(W) di R4.
Risposte
$f^-1$
CIao lucia
la a) non presenta problemi (spero che ti venga che è diagonalizzabile). Passo alla b).
Visto che le matrici sono già tutt'e quattro diagonali, tanto vale calcolarci gli autospazi.
Si ha $V(0)=\ker A = \Span{(1,0,1,0) , (0,1,0,0)}$
$V(1)=Span{(1,0,0,0) , (0,0,1,0)}$
Detto ciò, visto che gli autospazi relativi a 0 e 1 hanno dimensione 2 entrambi, mi sentirei di escludere la prima e la seconda matrice (perchè?). Quanto alla terza, basta accodare le basi di V(1) e di V(0) (ricorda che gli autospazi sono in somma diretta!), ovviamente mettendoli nell'ordine in cui noi vogliamo gli 0 e gli 1 nella matrice...)
Passo al punto c).
Calcoliamoci $f^(-1) (W)$. Comincio col cercare due vettori la cui immagine siano i due vettori di base di W.
Cerco x,y,z,t tali che
$f(x,y,z,t)=(t,0,t+z-x,t)=(1,0,0,1)$. Dev'essere semplicemente $t=1$ e $z=x-1$, per qui $f^(-1) (1,0,0,1)={(x,y,z+1,1)}$, sottospazio che ha dimensione 3 come avrai cura di verificare. Passando all'altro vettore, si verifica facilmente che 1,1,1,0 non appartiene all'immagine di $f$, per cui $f^(-1) (W) = f^(-1) (1,0,0,1)$
(Ah...credo che noi due ci conosciamo...indovina chi sono
)
la a) non presenta problemi (spero che ti venga che è diagonalizzabile). Passo alla b).
Visto che le matrici sono già tutt'e quattro diagonali, tanto vale calcolarci gli autospazi.
Si ha $V(0)=\ker A = \Span{(1,0,1,0) , (0,1,0,0)}$
$V(1)=Span{(1,0,0,0) , (0,0,1,0)}$
Detto ciò, visto che gli autospazi relativi a 0 e 1 hanno dimensione 2 entrambi, mi sentirei di escludere la prima e la seconda matrice (perchè?). Quanto alla terza, basta accodare le basi di V(1) e di V(0) (ricorda che gli autospazi sono in somma diretta!), ovviamente mettendoli nell'ordine in cui noi vogliamo gli 0 e gli 1 nella matrice...)
Passo al punto c).
Calcoliamoci $f^(-1) (W)$. Comincio col cercare due vettori la cui immagine siano i due vettori di base di W.
Cerco x,y,z,t tali che
$f(x,y,z,t)=(t,0,t+z-x,t)=(1,0,0,1)$. Dev'essere semplicemente $t=1$ e $z=x-1$, per qui $f^(-1) (1,0,0,1)={(x,y,z+1,1)}$, sottospazio che ha dimensione 3 come avrai cura di verificare. Passando all'altro vettore, si verifica facilmente che 1,1,1,0 non appartiene all'immagine di $f$, per cui $f^(-1) (W) = f^(-1) (1,0,0,1)$
(Ah...credo che noi due ci conosciamo...indovina chi sono
)
Ciao, innanzitutto grazie mille per la spiegazione. Avrei altre domande da farti. Per quanto riguarda il punto b) non ho ben capito perché, avendo gli autospazi dimensione 2, possiamo escludere le prime 2 matrici.
Per quanto riguarda il punto c), invece, non ho capito perché $f^-1$$(1,0,0,1)$=)=${(x,y,z+1,1)}$
Te ne sarei molto grato se potessi spiegarmelo.
(Non ho proprio idea di chi tu possa essere
)
Per quanto riguarda il punto c), invece, non ho capito perché $f^-1$$(1,0,0,1)$=)=${(x,y,z+1,1)}$
Te ne sarei molto grato se potessi spiegarmelo.
(Non ho proprio idea di chi tu possa essere
)
Ah, un'altra cosa. Per trovarmi la dimensione del sottospazio $f^−1(1,0,0,1)={(x,y,z+1,1)}$ devo incolonnare i vettori e trovarmi il rango?
(Il mio nome inizia con la R)
punto b).
La seconda matrice non se ne parla neanche, perchè gli autovalori di f sono $0$ e $1$, ma lì compare anche -1..ricorda che gli autovalori sono una caratteristica geometrica di $f$, gli autovalori sono invarianti per similitudine!
Quanto alla prima matrice, è da escludere perchè l'autovalore 1 compare 3 volte nel polinomio caratteristico, per cui trovo almeno 3 vettori linearmente indipendenti che vengono mandati in se stessi. Ma abbiamo calcolato che $V(1)=2$...l'autospazio di autovalore 1 non può contenere 3 vettori linearmente indipendenti!
punto c). Cos'è $f^(-1) (1,0,0,1)$? è l'insieme dei vettori (x,y,z,t) che vengono mandati proprio (1,0,0,1), cioè l'insieme dei vettori tali che
$f(x,y,z,t)=(1,0,0,1)$.
Ma tu sai quanto fa $f(x,y,z,t)$:
$f(x,y,z,t)= (t,0,t+z-x,t)$
in parole povere devi risolvere il sistema (due ennuple sono uguali se e solo se coincidono tutti gli elementi dello stesso posto)
$t=1$
$0=0$
$t+z-x=0$
$t=1$
Risolvendo il sistema si trova che il generico vettore che viene mandato in $(1,0,0,1)$ è proprio quelko scritto sopra
punto b).
La seconda matrice non se ne parla neanche, perchè gli autovalori di f sono $0$ e $1$, ma lì compare anche -1..ricorda che gli autovalori sono una caratteristica geometrica di $f$, gli autovalori sono invarianti per similitudine!
Quanto alla prima matrice, è da escludere perchè l'autovalore 1 compare 3 volte nel polinomio caratteristico, per cui trovo almeno 3 vettori linearmente indipendenti che vengono mandati in se stessi. Ma abbiamo calcolato che $V(1)=2$...l'autospazio di autovalore 1 non può contenere 3 vettori linearmente indipendenti!
punto c). Cos'è $f^(-1) (1,0,0,1)$? è l'insieme dei vettori (x,y,z,t) che vengono mandati proprio (1,0,0,1), cioè l'insieme dei vettori tali che
$f(x,y,z,t)=(1,0,0,1)$.
Ma tu sai quanto fa $f(x,y,z,t)$:
$f(x,y,z,t)= (t,0,t+z-x,t)$
in parole povere devi risolvere il sistema (due ennuple sono uguali se e solo se coincidono tutti gli elementi dello stesso posto)
$t=1$
$0=0$
$t+z-x=0$
$t=1$
Risolvendo il sistema si trova che il generico vettore che viene mandato in $(1,0,0,1)$ è proprio quelko scritto sopra
Solo che mi viene un dubbietto...se il conto che ho fatto è giusto (e lo è) allora $f^(-1) W$ è uno spazio affine, non vettoriale...non so quanto senso abbia calcolarne la dimensione
vorrei girarla come mia domanda...esiste il concetto di dimensione di uno spazio affine? (intuisco che un piano è un piano anche se non passa per l'origine!) se no, dove ho sbagliato?
Per quanto riguarda la tua domanda, purtroppo, non so darti una risposta.
Per quanto riguarda il punto b), ancora, era necessario trovare gli autospazi? Non potevamo limitarci a trovare la dimensione di $V(0)$ e di $V(1)$?
Attraverso quale base di $RR^4$ la matrice A3 è associata ad $f$?
c) A me viene così: $f^-1(1,0,0,1)={(x,y,x-1,1)}$. Se lasciamo fisse le variabili $x$ e $y$, la $z$ non dobbiamo esprimerla in funzione di $x$?
Grazie ancora per il disturbo, sei gentilissimo
Per quanto riguarda il punto b), ancora, era necessario trovare gli autospazi? Non potevamo limitarci a trovare la dimensione di $V(0)$ e di $V(1)$?
Attraverso quale base di $RR^4$ la matrice A3 è associata ad $f$?
c) A me viene così: $f^-1(1,0,0,1)={(x,y,x-1,1)}$. Se lasciamo fisse le variabili $x$ e $y$, la $z$ non dobbiamo esprimerla in funzione di $x$?
Grazie ancora per il disturbo, sei gentilissimo
b). Non era necessario il calcolo esplicito degli autospazi, $V(\lambda)=\psi^(-1) (Ker (A-\lambda I)$, dove $\psi$ è l'applicazione inversa al passaggio alle coordinate. Passando alle dimensioni, si ha
$\dim V(\lambda)=\dim Ker (A-\lambda I)$
c). E' giusta anche questa parametrizzazione!
P.S. I sent you a private message.
$\dim V(\lambda)=\dim Ker (A-\lambda I)$
c). E' giusta anche questa parametrizzazione!
P.S. I sent you a private message.
Va bene, grazie mille. Potresti indicarmi attraverso quale base di $RR^4$ la matrice A3 è associata ad $f$?
P.s. Ho risposto al tuo messaggio
P.s. Ho risposto al tuo messaggio
(Risposto)
Nel mio secondo post ho calcolato una base di V(1) e una di V(0). Per brevità chiamo {a1,a2} la base di V(0), e {b1,b2} la base di V(1) che ho trovate.
Ora osserva la matrice A3...a te serve una colonna di zeri nella prima colonna, e la prima colonna sai che contiene le coordinate del primo vettore di base. Quindi nella mia base devi mettere per prima un vettore nell'autospazio di 0. per ragioni analoghe nella seconda e nella terza colonna ci sono degli uni, quindi ti servono due vettori in V(1), e l'ultima colonna la fo fare a te.
Quindi alla fine ti va bene
B={a1,b1,b2,a2)
(puoi scambire a_1 e a_2 se preferisci)
Nel mio secondo post ho calcolato una base di V(1) e una di V(0). Per brevità chiamo {a1,a2} la base di V(0), e {b1,b2} la base di V(1) che ho trovate.
Ora osserva la matrice A3...a te serve una colonna di zeri nella prima colonna, e la prima colonna sai che contiene le coordinate del primo vettore di base. Quindi nella mia base devi mettere per prima un vettore nell'autospazio di 0. per ragioni analoghe nella seconda e nella terza colonna ci sono degli uni, quindi ti servono due vettori in V(1), e l'ultima colonna la fo fare a te.
Quindi alla fine ti va bene
B={a1,b1,b2,a2)
(puoi scambire a_1 e a_2 se preferisci)
Ok, gentilissimo. Grazie infinite
(Ti ho risp)
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