Diagonalizzabilità di matrici e sist. lineari (a parte)
Dunque, l'esame è a giorni e io ancora non capisco come risolvere i sistemi lineari, o meglio non riesco a trovare una procedura che valga sempre e che riesca a ricordarmi.
In particolare, nel libro ho degli esercizi dove il sistema, oltre alle incognite x, contiene anche un parametro "a". A quel punto l'unica cosa che penso sia giusta è ridurre a scala la matrice completa e vedere cosa succede al variare di a (tipo, se si annulla l'ultima riga o cose simili) ma mi sento abbastanza incasinato. poi però mi trovo anche esercizi da esame dove ci stanno due parametri e non ce ne sono proprio sul libro, di quelli... qualcuno potrebbe tipo darmi indicazioni "per passi", che tipo applicando quelle in quell'ordine si riesce a fare generalmente ogni sistema?
NB: i minori sono stati a malapena menzionati, le matrici orlate nemmeno quello.
Seconda cosa, ho fatto un po' di esercizi sulla diagonalizzabilità. Non è troppo complicata, ma c'è un esercizio che mi mette in dubbio su quello che ho imparato. Nel senso:
mi chiedono di trovare sempre i valori di un parametro a per i quali la matrice che segue è diagonalizzabile:
allora io faccio la formula del det della matrice formata da questa a cui ho tolto un generico t * matrice identica.
risulta perciò la matrice:
passo poi a calcolare il determinante, che deve essere pari a zero. in questo caso è a scala quindi mi esce subito che:
$(4-t)*(a-t)*(a^2 -t) = 0$
allora i tre autovalori sono:
$\lambda1 = 4,
\lambda2 = a,
\lambda3 = a^2$
allora dico, studio per $a=4$ e $a= \pm 2$
seguendo il principio "studio a prendendo come suoi valori quelli dei termini noti nelle altre parentesi dell'equazione"
il problema è che la soluzione dice che dovevo studiare ANCHE per $a = 0$ e $a = 1$. perchè? qual'è la regola per capire quali "a" studiare?
In particolare, nel libro ho degli esercizi dove il sistema, oltre alle incognite x, contiene anche un parametro "a". A quel punto l'unica cosa che penso sia giusta è ridurre a scala la matrice completa e vedere cosa succede al variare di a (tipo, se si annulla l'ultima riga o cose simili) ma mi sento abbastanza incasinato. poi però mi trovo anche esercizi da esame dove ci stanno due parametri e non ce ne sono proprio sul libro, di quelli... qualcuno potrebbe tipo darmi indicazioni "per passi", che tipo applicando quelle in quell'ordine si riesce a fare generalmente ogni sistema?
NB: i minori sono stati a malapena menzionati, le matrici orlate nemmeno quello.
Seconda cosa, ho fatto un po' di esercizi sulla diagonalizzabilità. Non è troppo complicata, ma c'è un esercizio che mi mette in dubbio su quello che ho imparato. Nel senso:
mi chiedono di trovare sempre i valori di un parametro a per i quali la matrice che segue è diagonalizzabile:
| Colonna n. 1 | Colonna n. 2 | Colonna n. 3 |
|---|---|---|
| a | -a | 0 |
| 2 | 0 | 0 |
allora io faccio la formula del det della matrice formata da questa a cui ho tolto un generico t * matrice identica.
risulta perciò la matrice:
| Colonna n. 1 | Colonna n. 2 | Colonna n. 3 |
|---|---|---|
| a | -a | 0 |
| 2 | 0 | 0 |
passo poi a calcolare il determinante, che deve essere pari a zero. in questo caso è a scala quindi mi esce subito che:
$(4-t)*(a-t)*(a^2 -t) = 0$
allora i tre autovalori sono:
$\lambda1 = 4,
\lambda2 = a,
\lambda3 = a^2$
allora dico, studio per $a=4$ e $a= \pm 2$
seguendo il principio "studio a prendendo come suoi valori quelli dei termini noti nelle altre parentesi dell'equazione"
il problema è che la soluzione dice che dovevo studiare ANCHE per $a = 0$ e $a = 1$. perchè? qual'è la regola per capire quali "a" studiare?
Risposte
Ciao,
Se resisti fino a giovedì posso provare a darti una risposta per entrambi i tuoi problemi, prima purtroppo non riesco!
Se resisti fino a giovedì posso provare a darti una risposta per entrambi i tuoi problemi, prima purtroppo non riesco!
"final444h":
Ciao,
Se resisti fino a giovedì posso provare a darti una risposta per entrambi i tuoi problemi, prima purtroppo non riesco!
L'esame è domani e probabilmente non lo passo. Aggiudicato per giovedì.
Mi sono preso un po' di tempo per rispondere ad una delle tue domande già da adesso.
Vorrei discutere l'esercizio della diagonalizzazione dato che mi sembra più rapido rispetto al primo, se trovi/trovate qualcosa di errato nelle mie affermazioni vi prego di correggermi.
Quando una matrice è diagonalizzabile:
- Una matrice è diagonalizzabile quando tutti i suoi autovalori sono distinti;
- Una matrice è diagonalizzabile quando coincide con la sua trasposta (teorema spettrale);
- Una matrice è diagonalizzabile se la molteplicità algebrica di ogni suo autovalore coincide con la relativa molteplicità geometrica;
Precisazioni:
La diagonalizzazione di una matrice $ A $ si presenta nella forma: $ A = XVX^-1 $ , dove:
- $V$ è la matrice avente sulla propria diagonale principale i suoi autovalori;
- $X$ è una matrice le cui colonne sono gli autovettori della matrice $A$, disposti in relazione ai relativi autovalori;
- Gli autovalori di $A$ devono essere linearmente indipendenti.
Ora, hai determinato correttamente gli autovalori della matrice di partenza, ottenendo:
$lambda _1=4$
$lambda _2=a$
$lambda _3=a^2$
Concentrati nel capire quando questi autovalori sono distinti, cioè tutti diversi:
Gli autovalori sono distinti quando $a!=0$ oppure $a!=1$, $a!=2$, $a!=-2$, $a!=4$ allora per valori diversi di $a$ da quelli citati, la matrice data è sicuramente diagonalizzabile.
Ora bisogna studiare che cosa accade quando $a=0$, $a=-2$, $a=2$, $a=4$ e quando $a=1$, la matrice potrebbe comunque essere diagonalizzabile:
Per $a=0$:
Vi sono due autovalori uguali a zero, allora $lambda=0$ ha molteplicità algebrica pari a 2 (appare due volte).
Contrariamente, $lambda=4$ ha molteplicità algebrica pari a 1.
Sostituisci tale valore di $a$ alla matrice di partenza, quindi calcolane gli autovettori.
Per $lambda=4$ si ottiene l'autovettore seguente: $( ( 1 ),( 0 ),( 0 ) ) $
Per $lambda=0$ si ottengono due autovettori identici: $( ( 0 ),( 1 ),( 0 ) ) $
La molteplicità geometrica relativa ad ogni autovalore è data dal numero di autovettori linearmente indipendenti associati. Per $lambda=4$ il problema non si pone, vi è un solo autovettore.
Per $lambda=0$, invece, vi sono due autovettori non linearmente indipendenti, quindi la molteplicità geometrica non corrisponde a quella algebrica, allora la matrice non è diagonalizzabile.
Per $a=1$ e gli altri due si affronta il medesimo procedimento.
Mi risulta che la matrice non sia diagonalizzabile neanche nel caso $a=1$ e $a=-2$, fammi sapere se ti ritrovi nei calcoli e nel procedimento in generale.
NB: Se trovate qualcosa di sbagliato correggetemi, per favore, è da un po' di tempo che non affronto diagonalizzazioni.
Ciao!
Vorrei discutere l'esercizio della diagonalizzazione dato che mi sembra più rapido rispetto al primo, se trovi/trovate qualcosa di errato nelle mie affermazioni vi prego di correggermi.
Quando una matrice è diagonalizzabile:
- Una matrice è diagonalizzabile quando tutti i suoi autovalori sono distinti;
- Una matrice è diagonalizzabile quando coincide con la sua trasposta (teorema spettrale);
- Una matrice è diagonalizzabile se la molteplicità algebrica di ogni suo autovalore coincide con la relativa molteplicità geometrica;
Precisazioni:
La diagonalizzazione di una matrice $ A $ si presenta nella forma: $ A = XVX^-1 $ , dove:
- $V$ è la matrice avente sulla propria diagonale principale i suoi autovalori;
- $X$ è una matrice le cui colonne sono gli autovettori della matrice $A$, disposti in relazione ai relativi autovalori;
- Gli autovalori di $A$ devono essere linearmente indipendenti.
Ora, hai determinato correttamente gli autovalori della matrice di partenza, ottenendo:
$lambda _1=4$
$lambda _2=a$
$lambda _3=a^2$
Concentrati nel capire quando questi autovalori sono distinti, cioè tutti diversi:
Gli autovalori sono distinti quando $a!=0$ oppure $a!=1$, $a!=2$, $a!=-2$, $a!=4$ allora per valori diversi di $a$ da quelli citati, la matrice data è sicuramente diagonalizzabile.
Ora bisogna studiare che cosa accade quando $a=0$, $a=-2$, $a=2$, $a=4$ e quando $a=1$, la matrice potrebbe comunque essere diagonalizzabile:
Per $a=0$:
Vi sono due autovalori uguali a zero, allora $lambda=0$ ha molteplicità algebrica pari a 2 (appare due volte).
Contrariamente, $lambda=4$ ha molteplicità algebrica pari a 1.
Sostituisci tale valore di $a$ alla matrice di partenza, quindi calcolane gli autovettori.
Per $lambda=4$ si ottiene l'autovettore seguente: $( ( 1 ),( 0 ),( 0 ) ) $
Per $lambda=0$ si ottengono due autovettori identici: $( ( 0 ),( 1 ),( 0 ) ) $
La molteplicità geometrica relativa ad ogni autovalore è data dal numero di autovettori linearmente indipendenti associati. Per $lambda=4$ il problema non si pone, vi è un solo autovettore.
Per $lambda=0$, invece, vi sono due autovettori non linearmente indipendenti, quindi la molteplicità geometrica non corrisponde a quella algebrica, allora la matrice non è diagonalizzabile.
Per $a=1$ e gli altri due si affronta il medesimo procedimento.
Mi risulta che la matrice non sia diagonalizzabile neanche nel caso $a=1$ e $a=-2$, fammi sapere se ti ritrovi nei calcoli e nel procedimento in generale.
NB: Se trovate qualcosa di sbagliato correggetemi, per favore, è da un po' di tempo che non affronto diagonalizzazioni.
Ciao!
Ciao, scusa se ti rispondo solo adesso pur avendo creato io stesso questo post, ma dopo la batosta dell'esame avevo bisogno di staccare per qualche giorno.
Comunque, il mio problema sta proprio con gli autovalori. Ed è anche una delle cose mi ha fregato all'esame perchè mi chiedeva proprio di trovare una matrice H tale che $H^T *A*H$ fosse diagonale. Io sapevo il procedimento, avevo fatto qualche esercizio ma mi ha fregato sugli autovalori.
I miei due problemi sono:
- non riesco a gestire il polinomio caratteristico (per esempio, all'esame avevo la matrice
A:
con Laplace il polinomio risulta quindi essere: $p(t)= (2-t) * [(2-t)^2 -1] -[(2-t) -1] -[(2-t) -1]$ (dimmi se è giusto please)
il problema è che non riesco a raccogliere in maniera tale da trovare gli autovalori
- il problema due è che appunto quando ho un "a" generico nella matrice, non capisco quali valori di a devo cercare. Vorrei che mi spiegassi con che criterio li consideri tu.
Comunque, il mio problema sta proprio con gli autovalori. Ed è anche una delle cose mi ha fregato all'esame perchè mi chiedeva proprio di trovare una matrice H tale che $H^T *A*H$ fosse diagonale. Io sapevo il procedimento, avevo fatto qualche esercizio ma mi ha fregato sugli autovalori.
I miei due problemi sono:
- non riesco a gestire il polinomio caratteristico (per esempio, all'esame avevo la matrice
A:
| 2 | 1 | 1 |
| 2 | 1 | 1 |
con Laplace il polinomio risulta quindi essere: $p(t)= (2-t) * [(2-t)^2 -1] -[(2-t) -1] -[(2-t) -1]$ (dimmi se è giusto please)
il problema è che non riesco a raccogliere in maniera tale da trovare gli autovalori
- il problema due è che appunto quando ho un "a" generico nella matrice, non capisco quali valori di a devo cercare. Vorrei che mi spiegassi con che criterio li consideri tu.
Allora,
La matrice che ti hanno dato all'esame è sicuramente diagonalizzabile, vedi teorema spettrale che ti ho precedentemente citato. Il polinomio caratteristico che hai calcolato mi sembra corretto. Sviluppando i calcoli dovrebbe venirti fuori una cosa del genere:
$ p(lambda )=(2-lambda)(lambda^2-4lambda+3)+(2lambda-2) $
$ p(lambda)=-lambda^3+6lambda^2-9lambda+4 $
Cerca quindi di scomporre questo polinomio, usando la regola di Ruffini si ottiene:
$(lambda-1)(lambda^2-5lambda+4)=0 $
Da qui la risoluzione dell'equazione è immediata.
Per quanto riguarda il tuo problema con i generici $a$ ti invito a seguire la procedura che ti ho spiegato precedentemente: individui solamente i valori di $a$ per i quali gli autovalori assumono più di una volta il medesimo valore, quindi studi la diagonalizzazione della matrice per tali valori.
La matrice che ti hanno dato all'esame è sicuramente diagonalizzabile, vedi teorema spettrale che ti ho precedentemente citato. Il polinomio caratteristico che hai calcolato mi sembra corretto. Sviluppando i calcoli dovrebbe venirti fuori una cosa del genere:
$ p(lambda )=(2-lambda)(lambda^2-4lambda+3)+(2lambda-2) $
$ p(lambda)=-lambda^3+6lambda^2-9lambda+4 $
Cerca quindi di scomporre questo polinomio, usando la regola di Ruffini si ottiene:
$(lambda-1)(lambda^2-5lambda+4)=0 $
Da qui la risoluzione dell'equazione è immediata.
Per quanto riguarda il tuo problema con i generici $a$ ti invito a seguire la procedura che ti ho spiegato precedentemente: individui solamente i valori di $a$ per i quali gli autovalori assumono più di una volta il medesimo valore, quindi studi la diagonalizzazione della matrice per tali valori.
"final444h":
Allora,
La matrice che ti hanno dato all'esame è sicuramente diagonalizzabile, vedi teorema spettrale che ti ho precedentemente citato. Il polinomio caratteristico che hai calcolato mi sembra corretto. Sviluppando i calcoli dovrebbe venirti fuori una cosa del genere:
$ p(lambda )=(2-lambda)(lambda^2-4lambda+3)+(2lambda-2) $
$ p(lambda)=-lambda^3+6lambda^2-9lambda+4 $
Cerca quindi di scomporre questo polinomio, usando la regola di Ruffini si ottiene:
$(lambda-1)(lambda^2-5lambda+4)=0 $
Da qui la risoluzione dell'equazione è immediata.
Per quanto riguarda il tuo problema con i generici $a$ ti invito a seguire la procedura che ti ho spiegato precedentemente: individui solamente i valori di $a$ per i quali gli autovalori assumono più di una volta il medesimo valore, quindi studi la diagonalizzazione della matrice per tali valori.
Credo di aver capito.
Riguardo ai sistemi lineari mi sono fatto questo riassunto:
Data matrice A mxn e B mx1
Supponiamo di avere il sistema per cui AX =B con n incognite.
Nei casi con parametri questi si chiameranno p,q.
NB: Se viene chiesto di “DISCUTERE il sistema al variare del parametro” ciò implica solo di trovare per quali valori del parametro è incompatibile/compatibile e con quante soluzioni, a meno che non venga esplicitamente chiesto di risolverlo.
Allora:
1. Si calcolano i ranghi delle due matrici A e A|B per vedere se sono uguali, partendo da quella completa.
1.1. Si fa riducendo a scala e contando il numero di righe non nulle, cercando di radunare i parametri in fondo
1.2. Se rk (A) = rk (A|B) = n (numero di incognite), il sistema ha un'unica soluzione (A quadrata).
1.3. Se rk (A) = rk (A|B) < n (numero di incognite), ci sono $ \propto^(n-rk) $ soluzioni
1.4. Se sono diversi il sistema non ha soluzioni
1.5. Se ho un pivot nella colonna dei termini noti (matrice A|B) il sistema non ha soluzioni in ogni caso
Se ho dei parametri, supponiamo p,q , allora riduco sempre a scala e considero quei valori dei parametri che mi fanno annullare una o più righe. Per ognuna delle loro combinazioni verifico se rk A = rk B e quindi cosa succede e annoto i valori dei parametri stessi. Se richiesto, risolvo per ogni caso (coppia di valori p,q per cui il sistema è compatibile) sostituendo tale coppia nella matrice completa e risolvendo il sistema che ne risulta.
Mi sembra che il tuo schema sia corretto!
Personalmente preferisco studiare la compatibilità di un sistema lineare senza prima avere effettuato l'eliminazione gaussiana, ma se ti trovi bene è perfetto (purtroppo tendo a fare errori di calcolo troppo frequentemente durante la riduzione a scalini). Ancora peggio quando mi ritrovo a dover ridurre a scalini un sistema lineare parametrizzato: preferisco studiare i ranghi delle due matrici in separata sede, quindi determinare i valori dei parametri per i quali il sistema lineare ammette soluzioni, e solo a questo punto sostituisco i parametri al sistema lineare e lo riduco a scalini.
Comunque se ti trovi bene con questi procedimenti risolutivi perfetto, continua ad adoperarli. Se hai qualche altro dubbio con i sistemi lineari o qualche esercizio che non sei riuscito a svolgere chiedi pure, nel giro di un paio di giorni rispondo
Personalmente preferisco studiare la compatibilità di un sistema lineare senza prima avere effettuato l'eliminazione gaussiana, ma se ti trovi bene è perfetto (purtroppo tendo a fare errori di calcolo troppo frequentemente durante la riduzione a scalini). Ancora peggio quando mi ritrovo a dover ridurre a scalini un sistema lineare parametrizzato: preferisco studiare i ranghi delle due matrici in separata sede, quindi determinare i valori dei parametri per i quali il sistema lineare ammette soluzioni, e solo a questo punto sostituisco i parametri al sistema lineare e lo riduco a scalini.
Comunque se ti trovi bene con questi procedimenti risolutivi perfetto, continua ad adoperarli. Se hai qualche altro dubbio con i sistemi lineari o qualche esercizio che non sei riuscito a svolgere chiedi pure, nel giro di un paio di giorni rispondo
Ho giusto giusto due esercizi che farebbe comodo vedere assieme:
1)
Determinare se esiste:
a) un sistema lineare che abbia (-2,2,2),(0,1,2),(2,0,2) come uniche soluzioni
b) un sistema lineare di rango 1 che abbia (-2,2,2),(0,1,2),(2,0,2) tra le soluzioni
c) un sistema lineare di rango 2 che abbia (-2,2,2),(0,1,2),(2,0,2) tra le soluzioni
suggerimento: risolvere la parte c prima della parte b (se c ha una soluzione, b ha una soluzione)
Soluzione: a) non esiste, b) z= 2, c) x+ 2y = 2 insieme a z = 2
2) Sia L l'endomorfismo di $R^3$ t.c. $L(1,sqrt2,0) = (1,sqrt2,0), L(1,1,1) = (0,1,sqrt2), L(sqrt3,1,1) = (1,0,-2)$
Calcolare l'antiimmagine mediante L del vettore $(1+sqrt2,3,sqrt2 -2)$
Soluzione: $(2,3,1-sqrt2) + <(sqrt2 +sqrt3 -1,1,1 + sqrt2)>$
Vorrei poter dire che sono riuscito a fare qualcosa ma con questi due proprio è il buio totale.
1)
Determinare se esiste:
a) un sistema lineare che abbia (-2,2,2),(0,1,2),(2,0,2) come uniche soluzioni
b) un sistema lineare di rango 1 che abbia (-2,2,2),(0,1,2),(2,0,2) tra le soluzioni
c) un sistema lineare di rango 2 che abbia (-2,2,2),(0,1,2),(2,0,2) tra le soluzioni
suggerimento: risolvere la parte c prima della parte b (se c ha una soluzione, b ha una soluzione)
Soluzione: a) non esiste, b) z= 2, c) x+ 2y = 2 insieme a z = 2
2) Sia L l'endomorfismo di $R^3$ t.c. $L(1,sqrt2,0) = (1,sqrt2,0), L(1,1,1) = (0,1,sqrt2), L(sqrt3,1,1) = (1,0,-2)$
Calcolare l'antiimmagine mediante L del vettore $(1+sqrt2,3,sqrt2 -2)$
Soluzione: $(2,3,1-sqrt2) + <(sqrt2 +sqrt3 -1,1,1 + sqrt2)>$
Vorrei poter dire che sono riuscito a fare qualcosa ma con questi due proprio è il buio totale.
Riguardo gli endomorfismi non ti so proprio aiutare: nel nostro corso di laurea non sono mai stati trattati troppo nel dettaglio, è probabile che approfondiremo l'anno prossimo.
Per quanto riguarda il primo esercizio bisogna un po' andarci a ragionamento, può essere facile come no.
Se individui/individuate qualche errore nelle mie affermazioni vi chiedo gentilmente di correggermi:
a) Si sta cercando di individuare un sistema lineare avente tre differenti vettori come soluzioni, e unici. Un sistema lineare può essere compatibile ed avere una sola soluzione (un solo vettore), oppure infinite soluzioni (infiniti vettori). Il fatto che il sistema presenti tre vettori risolutori differenti ed unici contraddice il teorema di Rouché-Capelli;
Sul come ragionerei il punto b ed il punto c ti rimando a questa discussione, ragiona in particolare sul penultimo messaggio. Spero sia abbastanza comprensibile: viewtopic.php?f=37&t=163031
Per quanto riguarda il primo esercizio bisogna un po' andarci a ragionamento, può essere facile come no.
Se individui/individuate qualche errore nelle mie affermazioni vi chiedo gentilmente di correggermi:
a) Si sta cercando di individuare un sistema lineare avente tre differenti vettori come soluzioni, e unici. Un sistema lineare può essere compatibile ed avere una sola soluzione (un solo vettore), oppure infinite soluzioni (infiniti vettori). Il fatto che il sistema presenti tre vettori risolutori differenti ed unici contraddice il teorema di Rouché-Capelli;
Sul come ragionerei il punto b ed il punto c ti rimando a questa discussione, ragiona in particolare sul penultimo messaggio. Spero sia abbastanza comprensibile: viewtopic.php?f=37&t=163031
ok, stasera lo guardo.
A proposito, quali sono i criteri per cui due matrici sono simili? Io so che se sono diagonalizzabili basta che abbiano gli stessi autovalori (con uguale MA) per essere simili, ma nel caso siano entrambe non diagonalizzabili come si fa a capirlo?
A proposito, quali sono i criteri per cui due matrici sono simili? Io so che se sono diagonalizzabili basta che abbiano gli stessi autovalori (con uguale MA) per essere simili, ma nel caso siano entrambe non diagonalizzabili come si fa a capirlo?
"Ciome":
2) Sia L l'endomorfismo di $R^3$ t.c. $L(1,sqrt2,0) = (1,sqrt2,0), L(1,1,1) = (0,1,sqrt2), L(sqrt3,1,1) = (1,0,-2)$
Calcolare l'antiimmagine mediante L del vettore $(1+sqrt2,3,sqrt2 -2)$
Soluzione: $(2,3,1-sqrt2) + <(sqrt2 +sqrt3 -1,1,1 + sqrt2)>$
Vorrei poter dire che sono riuscito a fare qualcosa ma con questi due proprio è il buio totale.
Hai che \(\displaystyle L\mathbf{v}_1 = \mathbf{v}_1 = \mathbf{w}_1 \), \(\displaystyle L\mathbf{v}_2 = \mathbf{w}_2 \), \(\displaystyle L\mathbf{v}_3 = \mathbf{w}_3 \). A occhio \(\displaystyle \{\mathbf{v}_1, \mathbf{v}_2, \mathbf{v}_3\} \) è una base di \(\displaystyle \mathbb{R}^3 \) (tu non puoi andare a occhio quindi calcola il rango di quei vettori). Al contrario \(\displaystyle \{\mathbf{w}_1, \mathbf{w}_2, \mathbf{w}_3\} \) ha rango due con \(\displaystyle \mathbf{w}_3 = \mathbf{w}_1 -\sqrt{2}\mathbf{w}_2 \). \(\displaystyle \ker L \) è pertanto di dimensione \(\displaystyle 1 \) e generato dal vettore \(\displaystyle \mathbf{v}_1 - \sqrt{2}\mathbf{v}_2 -\mathbf{v}_3 \).
Posto \(\displaystyle \mathbf{u} = (1+\sqrt{2},3,1-\sqrt{2}) \) si ha che \(\displaystyle L^{-1}\mathbf{u} = \mathbf{x} + \ker L \) dove \(\displaystyle \mathbf{x} \) è una soluzione particolare.
Per trovare una soluzione particolare puoi per esempio trovare \(\displaystyle \lambda_1, \lambda_2 \in \mathbb{R} \) (sono unici!) tali che \(\displaystyle \lambda_1\mathbf{w}_1 + \lambda_2\mathbf{w}_2 = \mathbf{u} \). Trovati loro hai che \(\displaystyle \mathbf{x} = \lambda_1\mathbf{v}_1 + \lambda_2\mathbf{v}_2 \).
Siccome la prima coordinata di \(\displaystyle \mathbf{u} \) viene generata solo da \(\displaystyle \mathbf{v}_1 \) e la terza solo da \(\displaystyle \mathbf{v}_2 \) hai che \(\displaystyle \lambda_1 = 1+\sqrt{2} \) e \(\displaystyle \lambda_2 = \frac{\sqrt{2} + 2}{\sqrt{2}} = \frac{2 -2\sqrt{2}}{2} \).
Potevi anche cercare una qualsiasi tripletta \(\displaystyle \lambda_1, \lambda_2, \lambda_3 \in \mathbb{R} \) tale che \(\displaystyle \lambda_1\mathbf{w}_1 + \lambda_2\mathbf{w}_2 + \lambda_3\mathbf{w}_3 = \mathbf{u} \) (questa volta non era unica) e usare \(\displaystyle \mathbf{x} = \lambda_1\mathbf{v}_1 + \lambda_2\mathbf{v}_2 + \lambda_3\mathbf{v}_3 \). Per esempio \(\displaystyle \lambda_2 = \sqrt{2}, \lambda_1 = \lambda_3 = 1 \) mi pare una buona scelta (oltre che quella scelta nella soluzione).
Grandissimo.
Ecco, io infatti uso il metodo che hai messo in fondo.
In pratica devo:
- verificare che i vettori del dominio dati formino una base
- in caso affermativo è possibile scrivere che un generico vettore v del dominio è pari a $v=λ1v1+λ2v2+λ3v3$ (dove i v sono i vettori del dominio dati ) (la chiamo equazione 1)
e quindi $L(v)=λ1w1+λ2w2+λ3w3$ (dove i w sono le tre immagini date e L(v) è dato) (la chiamo equazione 2).
- si procede allora calcolando un vettore unico per la roba in rosso e uguagliando i due vettori componente per componente, creando quindi un sistema.
- si risolve il sistema (le incognite sono ovviamente i lambda) e si sostituiscono i valori trovati delle incognite nella formula in blu
Giusto?
Però quando provo a fare altri esercizi dello stesso tipo, anche verificando che ho una base per partire, non vengono. Per esempio:
Sia L l'endomorfismo di R3 t.c. $L(3,1,2)=(1,0,0),L(1,3,0)=(1,0,0),L(0,1,0)=(2,0,0)$
Calcolare l'antiimmagine mediante L del vettore $(4,0,0)$
Soluzione: $(0,2,0)+<(1,0,5/9),(0,1,-2/9)>$
Se lo faccio con questo metodo non torna. Arrivo ad avere un sistema di una sola equazione (perchè ho tutti vettori con 2 componenti nulle). Quindi faccio una sostituzione per il primo e risolvo, ma la varietà lineare che ricavo non è quella corretta (ho fatto il confronto riducendo in fcs la mia e quella del risultato e sono sempre diverse).
Per quanto riguarda l'altro esercizio:
si la a) era ovvia, l'ho messa perchè in quel momento volevo semplicemente copiare il testo paro paro ma ero riuscito a rispondere. Per la b e la c, grazie, sto guardando la pagina che mi hai linkato e se va tutto liscio tiro dritto.
Ecco, io infatti uso il metodo che hai messo in fondo.
In pratica devo:
- verificare che i vettori del dominio dati formino una base
- in caso affermativo è possibile scrivere che un generico vettore v del dominio è pari a $v=λ1v1+λ2v2+λ3v3$ (dove i v sono i vettori del dominio dati ) (la chiamo equazione 1)
e quindi $L(v)=λ1w1+λ2w2+λ3w3$ (dove i w sono le tre immagini date e L(v) è dato) (la chiamo equazione 2).
- si procede allora calcolando un vettore unico per la roba in rosso e uguagliando i due vettori componente per componente, creando quindi un sistema.
- si risolve il sistema (le incognite sono ovviamente i lambda) e si sostituiscono i valori trovati delle incognite nella formula in blu
Giusto?
Però quando provo a fare altri esercizi dello stesso tipo, anche verificando che ho una base per partire, non vengono. Per esempio:
Sia L l'endomorfismo di R3 t.c. $L(3,1,2)=(1,0,0),L(1,3,0)=(1,0,0),L(0,1,0)=(2,0,0)$
Calcolare l'antiimmagine mediante L del vettore $(4,0,0)$
Soluzione: $(0,2,0)+<(1,0,5/9),(0,1,-2/9)>$
Se lo faccio con questo metodo non torna. Arrivo ad avere un sistema di una sola equazione (perchè ho tutti vettori con 2 componenti nulle). Quindi faccio una sostituzione per il primo e risolvo, ma la varietà lineare che ricavo non è quella corretta (ho fatto il confronto riducendo in fcs la mia e quella del risultato e sono sempre diverse).
Per quanto riguarda l'altro esercizio:
"final444h":
a) Si sta cercando di individuare un sistema lineare avente tre differenti vettori come soluzioni, e unici. Un sistema lineare può essere compatibile ed avere una sola soluzione (un solo vettore), oppure infinite soluzioni (infiniti vettori). Il fatto che il sistema presenti tre vettori risolutori differenti ed unici contraddice il teorema di Rouché-Capelli;
Sul come ragionerei il punto b ed il punto c ti rimando a questa discussione, ragiona in particolare sul penultimo messaggio. Spero sia abbastanza comprensibile: viewtopic.php?f=37&t=163031
si la a) era ovvia, l'ho messa perchè in quel momento volevo semplicemente copiare il testo paro paro ma ero riuscito a rispondere. Per la b e la c, grazie, sto guardando la pagina che mi hai linkato e se va tutto liscio tiro dritto.
La controimmagine tramite un morfismo lineare è uguale alla traslazione del kernel del morfismo di una soluzione particolare. La scelta dell'elemento particolare non è unico. Quindi anche il risultato potrebbe non coincidere con quello fornito dal libro o professore ma essere comunque corretto.
Il vettore per la parte in rosso è unico solo se è un isomorfismo, ma generalmente non è così.
Il vettore per la parte in rosso è unico solo se è un isomorfismo, ma generalmente non è così.
"vict85":
La controimmagine tramite un morfismo lineare è uguale alla traslazione del kernel del morfismo di una soluzione particolare. La scelta dell'elemento particolare non è unico. Quindi anche il risultato potrebbe non coincidere con quello fornito dal libro o professore ma essere comunque corretto.
Il vettore per la parte in rosso è unico solo se è un isomorfismo, ma generalmente non è così.
"Arieccome".
Intanto, grazie per la risposta. Purtroppo non capisco l'arabo molto bene (la prima riga)
Se potessi spiegarmelo in linguaggio un po' meno "sintetico" te ne sarei grato.
Comunque,
sono andato a dare l'esame per la seconda volta. E per la seconda volta mi sono trovato esercizi mai visti nel libro (scritto dal prof che fa il corso, TRA L'ALTRO).
Ordunque, eccone uno:
data la seguente matrice A del prodotto scalare in $R^3$, trovarne una base ortogonale:
| 1 | -1 | 0 |
| 2 | 0 | 0 |
Bon, dunque, io già vedendola simmetrica ho avuto l'impulso "teorema spettrale". Tuttavia non avendo la minima idea di cosa si dovesse fare per risolvere l'esercizio (mai visto, come già detto), sono partito con il trovare gli autovalori usando laplace sull'ultima riga. Poi ho trovato le basi degli autospazi e ho usato Gram-Schmidt per renderli ortogonali.
E' giusto? Se, no, possiamo risolverlo insieme? grazie.
Veniva richiesto di usare Gram-Schmidt sui primi due vettori della base standard; il terzo è già ortogonale ai primi due. Hai fatto parecchi calcoli inutili. Tra l'altro gli autospazi sono ortogonali tra di loro, quindi non aveva senso di usare dopo Gram-Schmidt (a meno che tu non abbia trovato autospazi bidimensionali o tridimensionali).
\(\displaystyle \mathbf{e}_1 \), \(\displaystyle \mathbf{e}_2 \) e \(\displaystyle \mathbf{e}_3 \) sono i tuoi vettori iniziali. Essendo la base standard hai che \(\displaystyle \mathbf{e}_i^t A \mathbf{e}_j = a_{ij} \).
Utilizzo quindi Gram-Schmidt. Il vettore \(\displaystyle \mathbf{e}_1 \) rimane se stesso. Sostituiamo invece \(\displaystyle \mathbf{e}_2 \) con \(\displaystyle \mathbf{v}_2 = \mathbf{e}_2 - \frac{a_{12}}{a_{11}}\mathbf{e}_1 = \mathbf{e}_2 + \mathbf{e}_1\). Infine \(\displaystyle \mathbf{e}_3 \) rimane uguale perché è già ortogonale agli altri 2. Pertanto la tua base ortogonale è \(\displaystyle \mathbf{e}_1 \), \(\displaystyle \mathbf{v}_2 = \mathbf{e}_1 + \mathbf{e}_2 \) e \(\displaystyle \mathbf{e}_3 \).
Riguardo alla prima domanda, quello che sto dicendo è: sia \(\displaystyle f\colon V\to W \) una applicazione lineare, \(\displaystyle K = \ker f \) e \(\displaystyle \mathbf{w} \) un vettore nell'immagine di \(\displaystyle f \). Le soluzioni del problema di trovare una controimmagine a \(\displaystyle \mathbf{w} \) hanno generalmente la forma \(\displaystyle \mathbf{v} + \ker f \) per un qualche \(\displaystyle \mathbf{v} \in V \). Non è però detto che tu trovi quel \(\displaystyle \mathbf{v} \) nei tuoi calcoli e se non lo trovi non vuol dire che hai sbagliato. Infatti ogni \(\displaystyle \mathbf{v}' \) tale che \(\displaystyle f\mathbf{v}' = \mathbf{w} \) è ugualmente corretto. Equivalentemente \(\displaystyle \mathbf{v}' + \ker f = f^{-1}(\mathbf{w}) = \mathbf{v} + \ker f \) se e solo se \(\displaystyle \mathbf{v}' - \mathbf{v} \in \ker f \).
\(\displaystyle \mathbf{e}_1 \), \(\displaystyle \mathbf{e}_2 \) e \(\displaystyle \mathbf{e}_3 \) sono i tuoi vettori iniziali. Essendo la base standard hai che \(\displaystyle \mathbf{e}_i^t A \mathbf{e}_j = a_{ij} \).
Utilizzo quindi Gram-Schmidt. Il vettore \(\displaystyle \mathbf{e}_1 \) rimane se stesso. Sostituiamo invece \(\displaystyle \mathbf{e}_2 \) con \(\displaystyle \mathbf{v}_2 = \mathbf{e}_2 - \frac{a_{12}}{a_{11}}\mathbf{e}_1 = \mathbf{e}_2 + \mathbf{e}_1\). Infine \(\displaystyle \mathbf{e}_3 \) rimane uguale perché è già ortogonale agli altri 2. Pertanto la tua base ortogonale è \(\displaystyle \mathbf{e}_1 \), \(\displaystyle \mathbf{v}_2 = \mathbf{e}_1 + \mathbf{e}_2 \) e \(\displaystyle \mathbf{e}_3 \).
Riguardo alla prima domanda, quello che sto dicendo è: sia \(\displaystyle f\colon V\to W \) una applicazione lineare, \(\displaystyle K = \ker f \) e \(\displaystyle \mathbf{w} \) un vettore nell'immagine di \(\displaystyle f \). Le soluzioni del problema di trovare una controimmagine a \(\displaystyle \mathbf{w} \) hanno generalmente la forma \(\displaystyle \mathbf{v} + \ker f \) per un qualche \(\displaystyle \mathbf{v} \in V \). Non è però detto che tu trovi quel \(\displaystyle \mathbf{v} \) nei tuoi calcoli e se non lo trovi non vuol dire che hai sbagliato. Infatti ogni \(\displaystyle \mathbf{v}' \) tale che \(\displaystyle f\mathbf{v}' = \mathbf{w} \) è ugualmente corretto. Equivalentemente \(\displaystyle \mathbf{v}' + \ker f = f^{-1}(\mathbf{w}) = \mathbf{v} + \ker f \) se e solo se \(\displaystyle \mathbf{v}' - \mathbf{v} \in \ker f \).
"vict85":
Veniva richiesto di usare Gram-Schmidt sui primi due vettori della base standard; il terzo è già ortogonale ai primi due. Hai fatto parecchi calcoli inutili. Tra l'altro gli autospazi sono ortogonali tra di loro, quindi non aveva senso di usare dopo Gram-Schmidt (a meno che tu non abbia trovato autospazi bidimensionali o tridimensionali).
\(\displaystyle \mathbf{e}_1 \), \(\displaystyle \mathbf{e}_2 \) e \(\displaystyle \mathbf{e}_3 \) sono i tuoi vettori iniziali. Essendo la base standard hai che \(\displaystyle \mathbf{e}_i^t A \mathbf{e}_j = a_{ij} \).
Utilizzo quindi Gram-Schmidt. Il vettore \(\displaystyle \mathbf{e}_1 \) rimane se stesso. Sostituiamo invece \(\displaystyle \mathbf{e}_2 \) con \(\displaystyle \mathbf{v}_2 = \mathbf{e}_2 - \frac{a_{12}}{a_{11}}\mathbf{e}_1 = \mathbf{e}_2 + \mathbf{e}_1\). Infine \(\displaystyle \mathbf{e}_3 \) rimane uguale perché è già ortogonale agli altri 2. Pertanto la tua base ortogonale è \(\displaystyle \mathbf{e}_1 \), \(\displaystyle \mathbf{v}_2 = \mathbf{e}_1 + \mathbf{e}_2 \) e \(\displaystyle \mathbf{e}_3 \).
Riguardo alla prima domanda, quello che sto dicendo è: sia \(\displaystyle f\colon V\to W \) una applicazione lineare, \(\displaystyle K = \ker f \) e \(\displaystyle \mathbf{w} \) un vettore nell'immagine di \(\displaystyle f \). Le soluzioni del problema di trovare una controimmagine a \(\displaystyle \mathbf{w} \) hanno generalmente la forma \(\displaystyle \mathbf{v} + \ker f \) per un qualche \(\displaystyle \mathbf{v} \in V \). Non è però detto che tu trovi quel \(\displaystyle \mathbf{v} \) nei tuoi calcoli e se non lo trovi non vuol dire che hai sbagliato. Infatti ogni \(\displaystyle \mathbf{v}' \) tale che \(\displaystyle f\mathbf{v}' = \mathbf{w} \) è ugualmente corretto. Equivalentemente \(\displaystyle \mathbf{v}' + \ker f = f^{-1}(\mathbf{w}) = \mathbf{v} + \ker f \) se e solo se \(\displaystyle \mathbf{v}' - \mathbf{v} \in \ker f \).
Chiaro, grazie (chissà che palla deve essere stato scrivere tutto sto codice latex, davvero grazie).
Solo una cosa: nell'esercizio da esame che hai risolto, immaginavo di aver fatto un sacco di roba inutile, ma, a parte quello, nonostante i conti inutili, il mio risultato è da considerarsi sbagliato o comunque corretto nonostante abbia fatto il giro dell'oca per arrivarci? (è più per sapere se devo prepararmi per l'eventuale orale o posso direttamente dimenticarmene e studiare per il prossimo esame, considerando che la tua soluzione è molto più semplice).
La base che hai trovato penso sia effettivamente ortogonale, forse anche ortonormale. Però dubito che riceverai molti punti su quell'esercizio.
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