Diagonalizzabilità con Parametro
Salve a tutti 
Sono un ragazzo che studia Ingegneria e mi sto preparando per l'esame di Geometria. Ho già provato una volta la materia ma sono stato bocciato con 16
, quindi mi sono fiondato nuovamente sulla materia per capire cosa non ho afferrato bene.
Il dubbio più grande che mi sia rimasto riguarda i problemi di diagonalizzazione di matrici con parametro. Vado al dunque.
L'esercizio richiede di:
a) Dire per quali valori di v la matrice A è diagonalizzabile;
b) Per i valori di v trovati al punto a), trovare una base di $RR^4$ costituita da autovettori della matrice A
c) Calcolare l'inversa, se è possibile, per v=1
Questa la matrice --> $ A = ( (1,-1,0,0) , (0,2,0,0) , (0,0,v,1) , (0,0,0,2) ) $
Ho provato a svolgere il punto a) dell'esercizio in questo modo:
1. Costruisco la matrice $A - \lambda I$ e mi trovo il determinante, ovvero il polinomio caratteristico che risulta essere $(1- \lambda)(2 - \lambda)^2(v - \lambda)$;
2. Trovo gli zeri del polinomio caratteristico che in questo caso sono $\lambda = 1 , \lambda = 2 , \lambda = v$ con molteplicità algebriche rispettivamente $1, 2, 1$
3. Do per scontato la diagonalizzabilità nel caso in cui la molteplicità geometrica è $1$, visto che $ma < mg <= 1$
4. Analizzo i casi in cui la molteplicità algebrica è diversa da 1, calcolando la molteplicità geometrica $mg = n - rg(A - \lambda_i I)$, in questo caso quindi per $\lambda = 2$.
Il mio problema sorge proprio al punto 4 poichè la maggior parte delle volte, la matrice $A$ risulta essere diagonalizzabile per qualsiasi valore. Nella fattispecie di questo esercizio viene fuori una matrice del genere:
$A - 2I = ( (-1,-1,0,0) , (0,0,0,0) , (0,0,v-2,1) , (0,0,0,0) )$
Che (correggetemi se sbaglio) ha sempre rango uguale a 2, qualsiasi valore assuma $v$. Di conseguenza la $mg$ risulta sempre uguale a 2 e quindi sempre uguale alla $ma$.
Arrivato a questo punto mi blocco, perche al punto b) mi viene chiesto di trovare una base di autovalori di $A$ a partire dai valori trovati prima. Che per me dovrebbe essere praticamente tutto $RR$.
Ho cercato di spiegare il problema nella maniera più esaustiva possibile, usando anche le formule. Spero di non aver commesso qualche errore di digitazione e ringrazio anticipatamente chi avrà la pazienza di rispondermi e darmi una mano.
Sono un ragazzo che studia Ingegneria e mi sto preparando per l'esame di Geometria. Ho già provato una volta la materia ma sono stato bocciato con 16
, quindi mi sono fiondato nuovamente sulla materia per capire cosa non ho afferrato bene.Il dubbio più grande che mi sia rimasto riguarda i problemi di diagonalizzazione di matrici con parametro. Vado al dunque.
L'esercizio richiede di:
a) Dire per quali valori di v la matrice A è diagonalizzabile;
b) Per i valori di v trovati al punto a), trovare una base di $RR^4$ costituita da autovettori della matrice A
c) Calcolare l'inversa, se è possibile, per v=1
Questa la matrice --> $ A = ( (1,-1,0,0) , (0,2,0,0) , (0,0,v,1) , (0,0,0,2) ) $
Ho provato a svolgere il punto a) dell'esercizio in questo modo:
1. Costruisco la matrice $A - \lambda I$ e mi trovo il determinante, ovvero il polinomio caratteristico che risulta essere $(1- \lambda)(2 - \lambda)^2(v - \lambda)$;
2. Trovo gli zeri del polinomio caratteristico che in questo caso sono $\lambda = 1 , \lambda = 2 , \lambda = v$ con molteplicità algebriche rispettivamente $1, 2, 1$
3. Do per scontato la diagonalizzabilità nel caso in cui la molteplicità geometrica è $1$, visto che $ma < mg <= 1$
4. Analizzo i casi in cui la molteplicità algebrica è diversa da 1, calcolando la molteplicità geometrica $mg = n - rg(A - \lambda_i I)$, in questo caso quindi per $\lambda = 2$.
Il mio problema sorge proprio al punto 4 poichè la maggior parte delle volte, la matrice $A$ risulta essere diagonalizzabile per qualsiasi valore. Nella fattispecie di questo esercizio viene fuori una matrice del genere:
$A - 2I = ( (-1,-1,0,0) , (0,0,0,0) , (0,0,v-2,1) , (0,0,0,0) )$
Che (correggetemi se sbaglio) ha sempre rango uguale a 2, qualsiasi valore assuma $v$. Di conseguenza la $mg$ risulta sempre uguale a 2 e quindi sempre uguale alla $ma$.
Arrivato a questo punto mi blocco, perche al punto b) mi viene chiesto di trovare una base di autovalori di $A$ a partire dai valori trovati prima. Che per me dovrebbe essere praticamente tutto $RR$.
Ho cercato di spiegare il problema nella maniera più esaustiva possibile, usando anche le formule. Spero di non aver commesso qualche errore di digitazione e ringrazio anticipatamente chi avrà la pazienza di rispondermi e darmi una mano.
Risposte
Benvenuto nel forum.
E' esatto.
E' la conclusione che è sbagliata.
Se $v=2$ allora la molteplicità algebrica di $lambda=2$ diventa 3...ma il rango resta 2.
Mentre $A-I$ per $v=1$ fa corrispondere sempre m.a=m.g.
Insomma, A è sempre diagonalizzabile per $v!=2$
"emanueleuni1":
$A - 2I = ( (-1,-1,0,0) , (0,0,0,0) , (0,0,v-2,1) , (0,0,0,0) )$
Che (correggetemi se sbaglio) ha sempre rango uguale a 2, qualsiasi valore assuma $v$.
E' esatto.
"emanueleuni1":
Di conseguenza la mg risulta sempre uguale a 2 e quindi sempre uguale alla ma.
E' la conclusione che è sbagliata.
Se $v=2$ allora la molteplicità algebrica di $lambda=2$ diventa 3...ma il rango resta 2.
Mentre $A-I$ per $v=1$ fa corrispondere sempre m.a=m.g.
Insomma, A è sempre diagonalizzabile per $v!=2$
Aggiungo che la base di autovettori è:
$ lambda=2 rarr ( ( -1 ),( 1 ),( 0 ),( 0 ) ) ( ( 0 ),( 0 ),( -1/(v-2) ),( 1 ) ) $
$ lambda=1 rarr ( ( 1 ),( 0 ),( 0 ),( 0 ) ) $
$ lambda=v rarr ( ( 0 ),( 0 ),( 1 ),( 0 ) ) $
A riprova che l'unico autovettore che dipende da v pretende che sia diverso da 2
$ lambda=2 rarr ( ( -1 ),( 1 ),( 0 ),( 0 ) ) ( ( 0 ),( 0 ),( -1/(v-2) ),( 1 ) ) $
$ lambda=1 rarr ( ( 1 ),( 0 ),( 0 ),( 0 ) ) $
$ lambda=v rarr ( ( 0 ),( 0 ),( 1 ),( 0 ) ) $
A riprova che l'unico autovettore che dipende da v pretende che sia diverso da 2
Intanto grazie davvero per la risposta, effettivamente ho tralasciato il fatto che la molteplicità algebrica degli autovalori può variare al variare di $v$.
Solo una cosa. Praticamente ciò che devo fare in questi esercizi è semplicemente verificare quando al variare di $v$ varia la molteplicità algebrica degli altri autovettori? Perchè come hai detto tu per $v = 1$ la $ma$ di $\lambda = 1$ aumenta di uno e diventa 2, di conseguenza anche in questo caso bisognerebbe andare a studiare quando la matrice $A -I$ (cosa che io non ho fatto perchè davo per scontato la diagonalizzabilità). Quindi, in generale, in questi esercizi quando la $ma$ di un autovettore è uno non si può dare in ogni caso "per scontato" la diagonalizzabilità...?
Mi rimane poi un dubbio.
Allora nel punto b), quando l'esercizio dice "per i valori di $v$ trovati al punto a)" si intende i valori per cui la matrice è diagonalizzabile (che sarebbero $AA v in RR - {2}$, oppure i valori per cui essa risulta NON diagonalizzabile?
A questa domanda cerco di rispondermi da solo, perchè non avrebbe senso andare a cercare una base formata da AUTOVETTORI di una matrice NON diagonalizzabile. Giusto?
E allora che valori di $v$ prendo? Uno qualsiasi, purchè sia diverso da 2? Forse la risposta a questo l'hai accennata nel tuo secondo messaggio, ma credo di non aver afferrato bene...
Le cose sono 2: o continua a mancarmi qualcosa, oppure i testi di questi esercizi sono scritti proprio con i piedi...
Grazie ancora per la pazienza!
Solo una cosa. Praticamente ciò che devo fare in questi esercizi è semplicemente verificare quando al variare di $v$ varia la molteplicità algebrica degli altri autovettori? Perchè come hai detto tu per $v = 1$ la $ma$ di $\lambda = 1$ aumenta di uno e diventa 2, di conseguenza anche in questo caso bisognerebbe andare a studiare quando la matrice $A -I$ (cosa che io non ho fatto perchè davo per scontato la diagonalizzabilità). Quindi, in generale, in questi esercizi quando la $ma$ di un autovettore è uno non si può dare in ogni caso "per scontato" la diagonalizzabilità...?
Mi rimane poi un dubbio.
"Bokonon":
Insomma, A è sempre diagonalizzabile per $v!=2$
Allora nel punto b), quando l'esercizio dice "per i valori di $v$ trovati al punto a)" si intende i valori per cui la matrice è diagonalizzabile (che sarebbero $AA v in RR - {2}$, oppure i valori per cui essa risulta NON diagonalizzabile?
A questa domanda cerco di rispondermi da solo, perchè non avrebbe senso andare a cercare una base formata da AUTOVETTORI di una matrice NON diagonalizzabile. Giusto?
E allora che valori di $v$ prendo? Uno qualsiasi, purchè sia diverso da 2? Forse la risposta a questo l'hai accennata nel tuo secondo messaggio, ma credo di non aver afferrato bene...
Le cose sono 2: o continua a mancarmi qualcosa, oppure i testi di questi esercizi sono scritti proprio con i piedi...
Grazie ancora per la pazienza!
Se abbiamo 4 autovalori reali distinti già sappiamo che è diagonalizzabile al 101% e troveremo esattamente 4 autovettori.
Il problema è quando abbiamo 4 autovalori reali e alcuni sono radici coincidenti. In questa situazione gli eventuali problemi si trovano nelle radici coincidenti. Quindi di certo vai a vedere cosa accade $lambda=2$ e scopri che ha rango due, quindi per $v!=1,2$ il problema non sussite, è sempre diagonalizzabile.
Poi dobbiamo chiederci cosa accade se $v=1$ o $v=2$ perchè creebbero altre due casisitiche di radici coincidenti da analizzare.
Questo è il processo logico.
Riguardo la formulazione del secondo quesito, stai totalmente escludendo la soluzione generale che ti ho dato. Vuoi per forza sostituire dei valori. Io invece l'ho interpretata in senso generale. Anzi, abituati a trovare la risposta generale prima di quelle particolari (just my 2 cents!).
Ci saranno altri esercizi in cui i valori del parametro sono forzati e in quel caso allora potrebbero chiederti di trovare una base specifica...ma non era il caso.
Infine considera che chi scrive gli esercizi potrebbe fare copia e incolla, sostituendo solo la matrice senza preoccuparsi delle elucubrazioni dei poveri studenti che cercano una possibile "interpretazione" del quesito..perchè non hanno fiducia in se stessi!
Il problema è quando abbiamo 4 autovalori reali e alcuni sono radici coincidenti. In questa situazione gli eventuali problemi si trovano nelle radici coincidenti. Quindi di certo vai a vedere cosa accade $lambda=2$ e scopri che ha rango due, quindi per $v!=1,2$ il problema non sussite, è sempre diagonalizzabile.
Poi dobbiamo chiederci cosa accade se $v=1$ o $v=2$ perchè creebbero altre due casisitiche di radici coincidenti da analizzare.
Questo è il processo logico.
Riguardo la formulazione del secondo quesito, stai totalmente escludendo la soluzione generale che ti ho dato. Vuoi per forza sostituire dei valori. Io invece l'ho interpretata in senso generale. Anzi, abituati a trovare la risposta generale prima di quelle particolari (just my 2 cents!).
Ci saranno altri esercizi in cui i valori del parametro sono forzati e in quel caso allora potrebbero chiederti di trovare una base specifica...ma non era il caso.
Infine considera che chi scrive gli esercizi potrebbe fare copia e incolla, sostituendo solo la matrice senza preoccuparsi delle elucubrazioni dei poveri studenti che cercano una possibile "interpretazione" del quesito..perchè non hanno fiducia in se stessi!
Okay, quindi praticamente le casistiche sono 3:
1. $v != 1 ^^ v != 2$
2. $v = 1$
3. $v = 2$
E in ognuno di questi casi devo vedere cosa succede alla molteplicità geometrica per tutti gli autovalori che hanno $ma != 1$, giusto?
Credo di aver capito il ragionamento dietro alla soluzione generale che hai scritto. Perchè nel caso in cui $\lambda = 2$ allora abbiamo che $v$ deve essere necessariamente diverso da 2, altrimenti avremmo uno 0 al denominatore all'interno del vettore. Ciò che non capisco sono i passaggi.. come fai ad arrivare a quello?
1. $v != 1 ^^ v != 2$
2. $v = 1$
3. $v = 2$
E in ognuno di questi casi devo vedere cosa succede alla molteplicità geometrica per tutti gli autovalori che hanno $ma != 1$, giusto?
Credo di aver capito il ragionamento dietro alla soluzione generale che hai scritto. Perchè nel caso in cui $\lambda = 2$ allora abbiamo che $v$ deve essere necessariamente diverso da 2, altrimenti avremmo uno 0 al denominatore all'interno del vettore. Ciò che non capisco sono i passaggi.. come fai ad arrivare a quello?
La prima casisitica è $lambda=2$ supponendo $v!=1,2$. Non ci fossero state due radici coincidenti e pari a 2, la prima casistica (per come l'hai scritta) era "superflua".
Come sono arrivato a quella soluzione? Ho solo risolto i rispettivi sistemi omogenei
Prova!
Come sono arrivato a quella soluzione? Ho solo risolto i rispettivi sistemi omogenei
Prova!
Okay, ho capito
Ho trovato la soluzione per $\lambda = 1$, facendo $(A -I)X = 0$ dove con $X$ intendo il vettore generico $(a,b,c,d)$.
Ho ottenuto un sistema omogeneo in cui tutte le incognite, tranne la a, si annullano. Quindi ho $(a,0,0,0)$. metto in evidenza la a: $a(1,0,0,0)$ e ottengo la base che è costituita esclusivamente dal vettore $(1,0,0,0)$. Fin quì tutto bene.
Il problema arriva nel momento in cui provo a fare la stessa cosa per $\lambda = 2$. Se devo essere sincero sono andato un pò "a tentativi". E ho scoperto che per $v$ generico (cioè lasciando $v$ nella matrice) ottengo $(0,0,-d/(v-2),d)$, con rispettiva base $(0,0,-1/(v-2),1)$ esattamente il vettore che hai scritto tu. Se invece sostituisco alla $v$ il $2$ ottengo $(0,0,c,0)$, base --> $(0,0,1,0)$ che sarebbe un altro vettore che hai trovato tu, ma per $\lambda = v$...
Come mai? Quale procedimento dovrei applicare?
Ho trovato la soluzione per $\lambda = 1$, facendo $(A -I)X = 0$ dove con $X$ intendo il vettore generico $(a,b,c,d)$.
Ho ottenuto un sistema omogeneo in cui tutte le incognite, tranne la a, si annullano. Quindi ho $(a,0,0,0)$. metto in evidenza la a: $a(1,0,0,0)$ e ottengo la base che è costituita esclusivamente dal vettore $(1,0,0,0)$. Fin quì tutto bene.
Il problema arriva nel momento in cui provo a fare la stessa cosa per $\lambda = 2$. Se devo essere sincero sono andato un pò "a tentativi". E ho scoperto che per $v$ generico (cioè lasciando $v$ nella matrice) ottengo $(0,0,-d/(v-2),d)$, con rispettiva base $(0,0,-1/(v-2),1)$ esattamente il vettore che hai scritto tu. Se invece sostituisco alla $v$ il $2$ ottengo $(0,0,c,0)$, base --> $(0,0,1,0)$ che sarebbe un altro vettore che hai trovato tu, ma per $\lambda = v$...
Come mai? Quale procedimento dovrei applicare?
Okay, spero non sia troppo tardi ma ho capito.
I risultati che ho ottenuto non combaciavano esattamente con quelli che hai scritto per errori miei di calcolo.
Mi hai levato veramente ogni dubbio, ed effettivamente hai ragione: noi ragazzi quando ci approcciamo a una materia abbiamo sempre poca fiducia nelle nostre capacità, o per colpa nostra o per colpa di alcuni prof..
Nel mio caso poi, l' insicurezza sicuramente si moltiplica, considerando che ho iniziato a lavorare e non frequento quasi completamente le lezioni. Di conseguenza tutto ciò che capisco e che studio dipende completamente da me..
A volte proprio questa insicurezza mi porta a fare errori banali come questo, perché effettivamente questo esercizio era tutto tranne che difficile.. Per fortuna però che ogni tanto si trovano persone come te che sono disposte a dare una mano! Grazie ancora per la pazienza!
I risultati che ho ottenuto non combaciavano esattamente con quelli che hai scritto per errori miei di calcolo.
Mi hai levato veramente ogni dubbio, ed effettivamente hai ragione: noi ragazzi quando ci approcciamo a una materia abbiamo sempre poca fiducia nelle nostre capacità, o per colpa nostra o per colpa di alcuni prof..
Nel mio caso poi, l' insicurezza sicuramente si moltiplica, considerando che ho iniziato a lavorare e non frequento quasi completamente le lezioni. Di conseguenza tutto ciò che capisco e che studio dipende completamente da me..
A volte proprio questa insicurezza mi porta a fare errori banali come questo, perché effettivamente questo esercizio era tutto tranne che difficile.. Per fortuna però che ogni tanto si trovano persone come te che sono disposte a dare una mano!
Grazie ancora per la pazienza!
Figurati emanuele, siamo qua per questo.
Per il dubbio, se v=2, (torna su e guarda la soluzione che ho postato) vedi che effettivamente il vettore collegato a v è sempre quello. Però ottieni solo il primo vettore dove ho scritto $lambda=2$
Quindi ottieni due vettori per $lambda=v=2$ e uno per $lambda=1$, totale tre autovettori. Quindi non è diagonalizzabile, come avevamo visto (il quarto vettore fa puff ).
Quando hai bisogno posta...
P.S. Magari, se vuoi, ti faccio vedere come risolvo i sistemi omogenei...ovvero come trovo il kernel. Nulla di rivoluzionario ma è così che fanno i prof.
Per il dubbio, se v=2, (torna su e guarda la soluzione che ho postato) vedi che effettivamente il vettore collegato a v è sempre quello. Però ottieni solo il primo vettore dove ho scritto $lambda=2$
Quindi ottieni due vettori per $lambda=v=2$ e uno per $lambda=1$, totale tre autovettori. Quindi non è diagonalizzabile, come avevamo visto (il quarto vettore fa puff
).Quando hai bisogno posta...
P.S. Magari, se vuoi, ti faccio vedere come risolvo i sistemi omogenei...ovvero come trovo il kernel. Nulla di rivoluzionario ma è così che fanno i prof.
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