Diagonalizzabilità con parametro
salve a tutti (...e auguri!)
volevo chiedervi un aiuto rigurado a un esercizio di algebra sulle matrici diagonalizzabili in funzione di un parametro.
la matrice in questione è questa:
$((t,1,2),(1,t,t),(0,0,1))$
ora, considero il polinomio caratteristico per trovare gli autovalori: $U=(1-lambda)(lambda^2 - 2t lambda + t^2 -1)=0$
osservo che le soluzioni sono $lambda = 1 , lambda = t+1, lambda = t-1$, affinchè i tre autovalori siano distinti $t != 0, t!=2$: in questo caso la matrice sarebbe diagonalizzabile.
guardo cosa succede per $t=0$:
ottengo due autovalori: $lambda=1$ con molteplicità 2 e $lambda= - 1$ con molteplicità 1. Ora devo verificare che la molteplicità algebrica coincida con la molteplicità geometrica per ognuno dei due valori
E qui viene il mio problema: se cerco l'autospazio relativo a $lambda=1$ ottengo una dimensione pari a 2 (e questo potrebbe essere corretto), ma con $lambda= - 1$ ottengo una dimensione di 2! esiste un teorema che dice che la molteplicità algebrica di un autovalore è sempre maggiore o uguale alla sua molteplicità geometrica! Quindi in teoria mi sembra che l'ultimo passaggio non possa risultare: devo concludere che la matrice per $t=0$ non è diagonalizzabile, oppure il problema è nei passaggi? non riesco a venirne a capo!
grazie in anticipo
volevo chiedervi un aiuto rigurado a un esercizio di algebra sulle matrici diagonalizzabili in funzione di un parametro.
la matrice in questione è questa:
$((t,1,2),(1,t,t),(0,0,1))$
ora, considero il polinomio caratteristico per trovare gli autovalori: $U=(1-lambda)(lambda^2 - 2t lambda + t^2 -1)=0$
osservo che le soluzioni sono $lambda = 1 , lambda = t+1, lambda = t-1$, affinchè i tre autovalori siano distinti $t != 0, t!=2$: in questo caso la matrice sarebbe diagonalizzabile.
guardo cosa succede per $t=0$:
ottengo due autovalori: $lambda=1$ con molteplicità 2 e $lambda= - 1$ con molteplicità 1. Ora devo verificare che la molteplicità algebrica coincida con la molteplicità geometrica per ognuno dei due valori
E qui viene il mio problema: se cerco l'autospazio relativo a $lambda=1$ ottengo una dimensione pari a 2 (e questo potrebbe essere corretto), ma con $lambda= - 1$ ottengo una dimensione di 2! esiste un teorema che dice che la molteplicità algebrica di un autovalore è sempre maggiore o uguale alla sua molteplicità geometrica! Quindi in teoria mi sembra che l'ultimo passaggio non possa risultare: devo concludere che la matrice per $t=0$ non è diagonalizzabile, oppure il problema è nei passaggi? non riesco a venirne a capo!
grazie in anticipo
Risposte
$t=0 ; lambda=1 $ , si ottiene il sistema omogeneo
$ -x_1+x_2 +2x_3=0 $
$x_1-x_2 =0 $
da cui $x_1 = x_2 $ e quindi $2x_3 =0 $ da cui $x_3=0 $.
L'autospazio relativo è quindi $ ( x_1,x_1,0 )$ . Risulta quindi $m_g= 1; m_a =2 $ .Deve essere $ m_g<= m_a $ e lo è .
Non diagonalizzabile in quanto $m_g ne m_a $
Resta poi da vedere il caso $ t= 2 $.
Edit : sistemate le molteplicità algebriche e geometriche.
$ -x_1+x_2 +2x_3=0 $
$x_1-x_2 =0 $
da cui $x_1 = x_2 $ e quindi $2x_3 =0 $ da cui $x_3=0 $.
L'autospazio relativo è quindi $ ( x_1,x_1,0 )$ . Risulta quindi $m_g= 1; m_a =2 $ .Deve essere $ m_g<= m_a $ e lo è .
Non diagonalizzabile in quanto $m_g ne m_a $
Resta poi da vedere il caso $ t= 2 $.
Edit : sistemate le molteplicità algebriche e geometriche.
scusami, ma mi viene il dubbio che non mi sia chiara una parte di teoria allora.
per $t=0$ abbiamo trovato i due autovalori
$lambda_1=1$ con molteplicità 2
$lambda_2= -1$ con molteplicità 1
ora se analizziamo l'autospazio generato dall'autovalore $lambda_1=1$ otteniamo giustamente una dimensione di 1 e quindi una molteplicità pari a 1. Ma l'autovalore in questione aveva molteplic. 2 e quindi non dovrebbe essere diagonalizzabile! è scorretto il mio ragionamento? grazie ancora
per $t=0$ abbiamo trovato i due autovalori
$lambda_1=1$ con molteplicità 2
$lambda_2= -1$ con molteplicità 1
ora se analizziamo l'autospazio generato dall'autovalore $lambda_1=1$ otteniamo giustamente una dimensione di 1 e quindi una molteplicità pari a 1. Ma l'autovalore in questione aveva molteplic. 2 e quindi non dovrebbe essere diagonalizzabile! è scorretto il mio ragionamento? grazie ancora
Ragionamento corretto, sistemato mio post sopra 
grazie ancora 
Completiamo l'esercizio.
Caso $ t=2 $
il polinomio caratteristico è $ (1-lambda)[lambda^2-4lambda +3 ] $.
Le radici sono
$lambda =1 $ doppia ;$ m_a=2 $
$lambda =3 $ semplice ; $m_a =1 $
Verifichiamo la dimensione dell'auyospazio relativo a $ lambda = 1 $
Si ottiene il seguente sistema omogeneo :
$x_1+x_2+2x_3=0 $
L'autospazio ha dimensione 2 e quindi $m_a= m_(g) =2 $ e quindi la matrice è diagonalizzabile.
L'autospazio è del tipo $( x_1, 2x_3-x_1,x_3 )$.
Caso $ t=2 $
il polinomio caratteristico è $ (1-lambda)[lambda^2-4lambda +3 ] $.
Le radici sono
$lambda =1 $ doppia ;$ m_a=2 $
$lambda =3 $ semplice ; $m_a =1 $
Verifichiamo la dimensione dell'auyospazio relativo a $ lambda = 1 $
Si ottiene il seguente sistema omogeneo :
$x_1+x_2+2x_3=0 $
L'autospazio ha dimensione 2 e quindi $m_a= m_(g) =2 $ e quindi la matrice è diagonalizzabile.
L'autospazio è del tipo $( x_1, 2x_3-x_1,x_3 )$.
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