Diagonalizzabilità al variare di un parametro
"Dato l'endomorfismo f: R^3 -> R^3 descritto dalla matrice:
$ A_k=( ( 3 , 4 , 0 ),( 5 , 2 , 0 ),( k+1 , -2 , 7 ) ) $
1) trovare la dimensione di ker(f) al variare del parametro k;
2) per k=1, verificarne la diagonalizzabilità e calcolare UN autospazio; determinare inoltre una matrice simile ad A;
3) determinare, al variare del parametro k, gli autovalori di Ak;
4) verificarne, al variare del parametro k, la diagonalizzabilità."
In ordine:
1) poiché il rango della matrice è sempre massimo indipendentemente da k, la dimensione di Im(f) è 3 e coincide con dim(V), cioè f è suriettiva. Trattandosi di un endomorfismo, la dimensione di ker(f) deve essere 0.
2) per k=1 ho:
$ A= ( ( 3 , 4 , 0 ),( 5 , 2 , 0 ),( 2 , -2 , 7 ) ) $
$ (A-lambda I)=( ( 3-lambda , 4 , 0 ),( 5 , 2-lambda , 0 ),( 2 , -2 , 7-lambda ) ) $
$ det(A-lambda I)=(7-lambda )[(lambda -7)(lambda +2)] $
$ lambda _1=7 $
$ lambda _2=7 $
$ lambda _3=-2 $
$ ma(lambda _1)=ma(lambda _2)=2 $
$ ma(lambda _3)=1 $
Verifico che la molteplicità geometrica per $ lambda_1 $ sia 2:
$ mg(lambda _1)=dim(V)-dim(A-lambda _1I)=3-rho ( ( -4 , 4 , 0 ),( 5 , -5 , 0 ),( 2 , -2 , 0 ) )=3-1=2 $
La matrice è diagonalizzabile. Calcolo l'autospazio relativo a $ lambda _1 $:
$ (A-lambda _1I)X=0 $
$ ( ( -4 , 4 , 0 ),( 5 , -5 , 0 ),( 2 , -2 , 0 ) )( ( x ),( y ),( z ) ) =( ( 0 ),( 0 ),( 0 ) ) $
$ { ( -4x+4y=0 ),( 5x-5y=0 ),( 2x-2y=0 ):} $
Ottengo $ V_f(lambda _1)={(x,x,0),(0,0,z)€R^3} $
Una sua base è $ B={(1,1,0),(0,0,1)} $
Come matrice simile ad A, posso prendere $ D=( ( 7 , 0 , 0 ),( 0 , 7 , 0 ),( 0 , 0 , 2 ) ) $?
3) Non so come svolgere questo punto. O meglio, so che dovrei calcolare il determinante della matrice $ (A_k-lambda I) $ ed imporre che sia 0, ma il parametro k viene scartato nel calcolo del determinante.
4) Non ho idea di cosa imporre se non che, per essere diagonalizzabile, la matrice $ (A_k-lambda_1 I) $ con $ lambda _1=7 $ debba avere rango 1, mentre $ (A_k-lambda_3 I) $ con $ lambda _3=-2 $ debba avere rango 2.
$ A_k=( ( 3 , 4 , 0 ),( 5 , 2 , 0 ),( k+1 , -2 , 7 ) ) $
1) trovare la dimensione di ker(f) al variare del parametro k;
2) per k=1, verificarne la diagonalizzabilità e calcolare UN autospazio; determinare inoltre una matrice simile ad A;
3) determinare, al variare del parametro k, gli autovalori di Ak;
4) verificarne, al variare del parametro k, la diagonalizzabilità."
In ordine:
1) poiché il rango della matrice è sempre massimo indipendentemente da k, la dimensione di Im(f) è 3 e coincide con dim(V), cioè f è suriettiva. Trattandosi di un endomorfismo, la dimensione di ker(f) deve essere 0.
2) per k=1 ho:
$ A= ( ( 3 , 4 , 0 ),( 5 , 2 , 0 ),( 2 , -2 , 7 ) ) $
$ (A-lambda I)=( ( 3-lambda , 4 , 0 ),( 5 , 2-lambda , 0 ),( 2 , -2 , 7-lambda ) ) $
$ det(A-lambda I)=(7-lambda )[(lambda -7)(lambda +2)] $
$ lambda _1=7 $
$ lambda _2=7 $
$ lambda _3=-2 $
$ ma(lambda _1)=ma(lambda _2)=2 $
$ ma(lambda _3)=1 $
Verifico che la molteplicità geometrica per $ lambda_1 $ sia 2:
$ mg(lambda _1)=dim(V)-dim(A-lambda _1I)=3-rho ( ( -4 , 4 , 0 ),( 5 , -5 , 0 ),( 2 , -2 , 0 ) )=3-1=2 $
La matrice è diagonalizzabile. Calcolo l'autospazio relativo a $ lambda _1 $:
$ (A-lambda _1I)X=0 $
$ ( ( -4 , 4 , 0 ),( 5 , -5 , 0 ),( 2 , -2 , 0 ) )( ( x ),( y ),( z ) ) =( ( 0 ),( 0 ),( 0 ) ) $
$ { ( -4x+4y=0 ),( 5x-5y=0 ),( 2x-2y=0 ):} $
Ottengo $ V_f(lambda _1)={(x,x,0),(0,0,z)€R^3} $
Una sua base è $ B={(1,1,0),(0,0,1)} $
Come matrice simile ad A, posso prendere $ D=( ( 7 , 0 , 0 ),( 0 , 7 , 0 ),( 0 , 0 , 2 ) ) $?
3) Non so come svolgere questo punto. O meglio, so che dovrei calcolare il determinante della matrice $ (A_k-lambda I) $ ed imporre che sia 0, ma il parametro k viene scartato nel calcolo del determinante.
4) Non ho idea di cosa imporre se non che, per essere diagonalizzabile, la matrice $ (A_k-lambda_1 I) $ con $ lambda _1=7 $ debba avere rango 1, mentre $ (A_k-lambda_3 I) $ con $ lambda _3=-2 $ debba avere rango 2.
Risposte
"maxira":
Una sua base è $ B={(1,1,0),(0,0,1)} $
Non è completa...non hai trovato l'autovettore associato $ lambda =-2 $
"maxira":
Come matrice simile ad A, posso prendere $ D=( ( 7 , 0 , 0 ),( 0 , 7 , 0 ),( 0 , 0 , 2 ) ) $?
Certo che si.
"maxira":
3) Non so come svolgere questo punto. O meglio, so che dovrei calcolare il determinante della matrice $ (A_k-lambda I) $ ed imporre che sia 0, ma il parametro k viene scartato nel calcolo del determinante.
Appunto.
Il polinomio caratteristico non dipende da k, quindi gli autovalori sono sempre quelli.
"maxira":
4) Non ho idea di cosa imporre se non che, per essere diagonalizzabile
Rifai la procedura e ottieni che per $ lambda =7 $, puoi ricavare due autovettori dalla matrice
$ ( ( -4 , 4 , 0 ),( 5 , -5 , 0 ),( k+1 , -2 , 0 ) ) $ solo se k=1. In altre parole, per l'unico valore di k per cui questa matrice ha rango 1.
Per $ lambda =-2 $ la matrice ha rango 2 indipendemente da k.
"Bokonon":
Non è completa...non hai trovato l'autovettore associato $ lambda =-2 $
Quindi anche quando l'esercizio mi chiede un solo autospazio devo calcolare gli autovettori associati a tutti gli autovalori?
"Bokonon":
Rifai la procedura e ottieni che per $ lambda =7 $, puoi ricavare due autovettori dalla matrice
$ ( ( -4 , 4 , 0 ),( 5 , -5 , 0 ),( k+1 , -2 , 0 ) ) $ solo se k=1. In altre parole, per l'unico valore di k per cui questa matrice ha rango 1.
Per $ lambda =-2 $ la matrice ha rango 2 indipendemente da k.
Ho capito, grazie.
"maxira":
Quindi anche quando l'esercizio mi chiede un solo autospazio devo calcolare gli autovettori associati a tutti gli autovalori?
Male non fa e non rischi di interpretare male la richiesta.
"maxira":
Quindi anche quando l'esercizio mi chiede un solo autospazio devo calcolare gli autovettori associati a tutti gli autovalori?
In sede d'esame sarebbe una perdita di tempo, sempre ammesso che sia esplicitamente richiesto la determinazione di un solo autovettore.
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