Diagonalizzabilità al variare del parametro

[Amedim]

Salve, ho questa matrice: $ {: ( 1+k , 3k ),( 3 , k+4 ) :} $

Ecco, dovrei studiarne la digonalizzabilita al variare di k...
Ho fatto il determinante che risulta essere $ lambda -(5+2k) lambda + k^2 -4k +4 $ adesso quando vado a calcolare Il Delta di questo polinomio mi viene uguale a -1/4... quindi non sarebbe diagonalizzabile questa matrice... è sbagliato?

[Camillo]

$Delta = 36k+9 $ , adesso devi studiarlo come varia in funzione dei valori assunti da $k$

[caffeinaplus]

Una caso interessante da studiare è quando il delta si annulla.Inoltre per $k=1$ è certamente diagonalizzabile.Altri casi in cui potrebbero saltar fuori autovalori problematici non ne vedo una volta imposto il $\Delta$ positivo, anche se potrei sbagliarmi

[Amedim]

Forse sbaglio io qualcosa proprio nel metodo. Una volta calcolato $delta_k=0$, nom devo risolvere quella equazione con il lambda? Quindi $( 5+2k+- sqrt(delta))/2$ trovare i valori di lambda ed eguagliarli... Almeno con le 3x3 questo metodo usavo.. È diverso in questo caso?

[Amedim]

"caffeinaplus":Una caso interessante da studiare è quando il delta si annulla.Inoltre per $k=1$ è certamente diagonalizzabile.Altri casi in cui potrebbero saltar fuori autovalori problematici non ne vedo una volta imposto il $\Delta$ positivo, anche se potrei sbagliarmi

Si, l'intento era infatti di studiare per delta =0. Pero' verrebbe un numero negativo... per studiare gli altri casi devo porre quindi il delta maggiore di 0? E basta?

[caffeinaplus]

Non ti seguo.Se $Delta=36k+9$ questo sarà uguale a zero quando $k=-1/4$.A questo punto non ti resta che calcolare gli autovalori e poi studiare le molteciplità.

Se i tuoi calcoli sono giusti (ora i miei non li ho più sottomano ) quando $k=-1/4$ allora $lambda_1=lambda_2=(5-1/2)/2$

Che fa $9/4$.Quindi ora sai che ha molteplicità algebrica pari a 2 e devi studiare quella geometrica

[Amedim]

"caffeinaplus":Non ti seguo.Se $Delta=36k+9$ questo sarà uguale a zero quando $k=-1/4$.A questo punto non ti resta che calcolare gli autovalori e poi studiare le molteciplità.

Se i tuoi calcoli sono giusti (ora i miei non li ho più sottomano ) quando $k=-1/4$ allora $lambda_1=lambda_2=(5-1/2)/2$

Che fa $9/4$.Quindi ora sai che ha molteplicità algebrica pari a 2 e devi studiare quella geometrica

Perfetto, la molt. geometrica mi viene uguale ad 1 studiando il rango di questa matrice: $ ( ( -3/2 , -3/4 ),( 3 , 3/2 ) ) $ il cui rango è 1 quindi 2-1=1. Pertanto ho che per $k=-1/4$ M.A è diversa da quella geometrica quindi non essendo verificata questa condizione posso dire che l'endomorfismo non è diagonalizzabile (per questo valore). Giusto?

[caffeinaplus]

Esattamente