Diagonalizzabilità
Buonasera a tutti,avrei un problema con il concetto di diagonalizzabilità e con gli esercizi relativi.
Ho provato a eseguire questo esercizio :
Dire se la matrice seguente è diagonalizzabile $ A = ( ( 3 , 0 , 0 ),(-4 , -1 , -8 ),( 0 , 0 , -3 ) ) $
calcolo il suo polinomio caratteristico che risulta : $ p(L)=det(A-LI3)=( ( 3-L , 0 , 0 ),(-4 , -1-L , -8 ),( 0 , 0 , -3-L ) ) =(3-L)(-1-L)(-3-L) $
con$ L=3,L=-3,L=-1 $. Ora la molteplicità algebrica di ognuno è 1,ma la geometrica?tenendo conto che per quel che so si calcola come ordine della matrice meno il rango della matrice $ (A-LI)$ ovvero $ n-r(A-LI) = m.g. $ io ho che utilizzando il criterio dei minori e ho notato che per i valori 3 e -3 ho difatti che la m.a. è uguale alla m.g. ma che per il valore -1 non è la stessa cosa e quindi mi risulta non diagonalizzabile.
La matrice relativa a $ L=-1 $ è $ ( ( 4, 0 , 0 ),(-4 , 0 , -8 ),( 0 , 0 , -2 ) ) $ mi risulta che il suo rango è 1.
Utilizzando il metodo di gauss per vedere il rango della matrice (A-LI) mi risulta che è uguale a 3 dato che ho 3 righe non nulle.
La soluzione dell'esercizio mette in evidenza,al contrario di quanto a me riesce,che la matrice è diagonalizzabile e che la m.g. di -1 è uguale a quella algebrica.Sbaglierò di sicuro ma non capisco cosa.
Grazie per la pazienza e per le eventuali risposte,se ne darete.
Ho provato a eseguire questo esercizio :
Dire se la matrice seguente è diagonalizzabile $ A = ( ( 3 , 0 , 0 ),(-4 , -1 , -8 ),( 0 , 0 , -3 ) ) $
calcolo il suo polinomio caratteristico che risulta : $ p(L)=det(A-LI3)=( ( 3-L , 0 , 0 ),(-4 , -1-L , -8 ),( 0 , 0 , -3-L ) ) =(3-L)(-1-L)(-3-L) $
con$ L=3,L=-3,L=-1 $. Ora la molteplicità algebrica di ognuno è 1,ma la geometrica?tenendo conto che per quel che so si calcola come ordine della matrice meno il rango della matrice $ (A-LI)$ ovvero $ n-r(A-LI) = m.g. $ io ho che utilizzando il criterio dei minori e ho notato che per i valori 3 e -3 ho difatti che la m.a. è uguale alla m.g. ma che per il valore -1 non è la stessa cosa e quindi mi risulta non diagonalizzabile.
La matrice relativa a $ L=-1 $ è $ ( ( 4, 0 , 0 ),(-4 , 0 , -8 ),( 0 , 0 , -2 ) ) $ mi risulta che il suo rango è 1.
Utilizzando il metodo di gauss per vedere il rango della matrice (A-LI) mi risulta che è uguale a 3 dato che ho 3 righe non nulle.
La soluzione dell'esercizio mette in evidenza,al contrario di quanto a me riesce,che la matrice è diagonalizzabile e che la m.g. di -1 è uguale a quella algebrica.Sbaglierò di sicuro ma non capisco cosa.
Grazie per la pazienza e per le eventuali risposte,se ne darete.
Risposte
Se la molteplicità algebrica è $1$, lo è anche la geometrica. Questo piccolo trucco ti risparmierà un sacco di calcoli nella vita.
Quella matrice è diagonalizzabile.
Paola
Quella matrice è diagonalizzabile.
Paola
Ti ringrazio per la risposta.
Comunque già ero a conoscenza della cosa,solo che a volte non è sempre così e provando a verificare col procedimento che ho fatto volevo sape perché secondo i miei calcoli dovrebbe risultare che per il valore di L=-1 la molteplicità algebrica è differente dalla geometrica poiché il rango della matrice di (A-LI) è 1 e mi risulta che n-r(A-LI)=2 e quindi m.g. non è uguale alla m.a.
(questo usando il criterio dei minori)
Questo era il mio problema,che è per lo più concettuale.
Comunque già ero a conoscenza della cosa,solo che a volte non è sempre così e provando a verificare col procedimento che ho fatto volevo sape perché secondo i miei calcoli dovrebbe risultare che per il valore di L=-1 la molteplicità algebrica è differente dalla geometrica poiché il rango della matrice di (A-LI) è 1 e mi risulta che n-r(A-LI)=2 e quindi m.g. non è uguale alla m.a.
(questo usando il criterio dei minori)
Questo era il mio problema,che è per lo più concettuale.
No no, è SEMPRE così. Se vedi che un autovalore ha molt. alg. 1, puoi già concludere che ha molt. geom. 1. E' un teorema, non una cosa euristica.
Riguardo al tuo procedimento: la matrice relativa a $-1$ ha rango $2$, non $1$. Lì c'è un tuo errore. Puoi infatti usare il minore non nullo $|(-4,-8),(0,-2)|\ne 0$.
Paola
Riguardo al tuo procedimento: la matrice relativa a $-1$ ha rango $2$, non $1$. Lì c'è un tuo errore. Puoi infatti usare il minore non nullo $|(-4,-8),(0,-2)|\ne 0$.
Paola
Allora mi domando che senso abbia chiedere di verificarne la diagonalizzabilità.
Mi spiego meglio,questo teorema che mi hai esposto vale per i valori di m.a. =1 o per tutti?Ad esempio se io avessi una m.a. =2 o più varrebbe comunque?Perché io stavo seguendo un esercizio sul mio libro di testo e c'è più di un esercizio in cui la m.a. è diversa dalla geometrica facendo così saltare la diagonalizzabilità.
Comunque grazie ancora per la risposta.
Mi spiego meglio,questo teorema che mi hai esposto vale per i valori di m.a. =1 o per tutti?Ad esempio se io avessi una m.a. =2 o più varrebbe comunque?Perché io stavo seguendo un esercizio sul mio libro di testo e c'è più di un esercizio in cui la m.a. è diversa dalla geometrica facendo così saltare la diagonalizzabilità.
Comunque grazie ancora per la risposta.
No vale solo per m.a.=1. Ma è comunque un validissimo aiuto! Pensa se tu avessi una matrice di ordine $5$ e ben 3 autovalori avessero m.a.=1! Dovresti controllare solo l'ultimo autovalore con m.a.=2 per vedere se è diagonalizzabile!
Paola
Paola
Ah ok!Ora mi è chiaro!grazie mille,sei stata di grande aiuto.
Buona giornata
Buona giornata
Scusate se riapro ma volevo chiedere un'ultima cosa.
Volevo sapere se il teorema vale per tutte le matrici o solo per le simmetriche.
Grazie
Volevo sapere se il teorema vale per tutte le matrici o solo per le simmetriche.
Grazie
Vale per tutte le matrici, purché siano quadrate (ovviamente)
diciamo che, però, difficilmente in una traccia d'esame ti capiterà un esercizio con solo la dichiarazione di una matrice diagonalizzabile o meno.. È più tipico un esercizio con, in più, un calcolo della matrice diagonalizzante, quindi saresti costretto comunque a calcolarti l'autospazio
diciamo che, però, difficilmente in una traccia d'esame ti capiterà un esercizio con solo la dichiarazione di una matrice diagonalizzabile o meno.. È più tipico un esercizio con, in più, un calcolo della matrice diagonalizzante, quindi saresti costretto comunque a calcolarti l'autospazio
Si immaginavo fosse così,grazie mille per aver risposto
x − 3y + 2z = c
3x − 9y + 7z = c
2x − 6y + 7z = −4c
ragazzi scusate non sapevo come creare un nuovo argomento.. vorrei sapere come posso risolvere questa matrice. il quesito è: Determinare determinare per quali valori del paramentro c il seguente sistema ha soluzioni
e, in tal caso, determinare tutte le soluzioni. vi prego di aiutarmi!!! ho un esame tra un paio di giorni e non so come risolvere questo tipo di quesiti!
3x − 9y + 7z = c
2x − 6y + 7z = −4c
ragazzi scusate non sapevo come creare un nuovo argomento.. vorrei sapere come posso risolvere questa matrice. il quesito è: Determinare determinare per quali valori del paramentro c il seguente sistema ha soluzioni
e, in tal caso, determinare tutte le soluzioni. vi prego di aiutarmi!!! ho un esame tra un paio di giorni e non so come risolvere questo tipo di quesiti!
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