Diagonalizzabilità

[rinaldo901]

ciao a tutti!!!
avrei un problema:
se ho un endomorfismo dallo spazio delle matrici 3x3 in sè,
definito da: Ax - xA (tipo il commutatore penso).
la matrice A è data dal testo ed è :A= $ 7 -1 -2 ;$
$-6$ $0$ $2$ ;
$24 -3 -7 $ (per righe).
come faccio a dire si è diagonalizzabile oppure no?
cioè, come faccio a trovare la matrice di passaggio caratteristica dell'endomorfismo per poi studiarla?
e si può passare eventualmente all'endomorfismo da R^9 in sè e poi studiare quello?
grazie !!!

[kate-sweet]

devi trovarti innanzitutto il polinomio caratteristico e poi trovare gli autovalori e di ognuno calcolare la molteplicità algebrica e quella geometrica...se queste sono uguali allora la matrice è diagonalizzabile,altrimenti no!

[rinaldo901]

ma secondo me la mia matrice A non è quella che rappresenta l'endomorfismo..
sbaglio?

[Sk_Anonymous]

Utilizzando il metodo "forza bruta", dovresti eseguire i seguenti calcoli sostituendo di volta in volta le matrici appartenenti alla base canonica, per esempio:

$AX_1-X_1A=$

$=((7,-1,-2),(-6,0,2),(24,-3,-7))((1,0,0),(0,0,0),(0,0,0))-((1,0,0),(0,0,0),(0,0,0))((7,-1,-2),(-6,0,2),(24,-3,-7))=$

$=((7,0,0),(-6,0,0),(24,0,0))-((7,-1,-2),(0,0,0),(0,0,0))=$

$=((0,1,2),(-6,0,0),(24,0,0))$

Quindi, costruire la matrice $[9*9]$ che rappresenta l'endomorfismo e studiarne la diagonalizzabilità. In ogni modo, mi sembra un procedimento abnorme. Dovresti provare a determinare una scorciatoia, sempre che esista. Per esempio, la matrice $[A]$ e la matrice $$ sono certamente due autovettori linearmente indipendenti corrispondenti all'autovalore $[lambda=0]$. Altro, per adesso, non mi viene in mente. Chiedo perdono se dovesse essere per sempre.

[Sk_Anonymous]

Mi è venuta un'idea. Poichè la matrice $[A]$ ammette $[3]$ autovalori distinti, $[-1]$, $[0]$ e $[1]$, risulta senz'altro diagonalizzabile. Quindi, potrebbe essere conveniente imporre l'equazione agli autovalori per l'endomorfismo assegnato, rappresentando tutte le matrici rispetto ad una base di autovettori della matrice $[A]$. Infatti:

$[AX-XA=lambdaX] rarr$

$rarr ((-1,0,0),(0,0,0),(0,0,1))((x_(11),x_(12),x_(13)),(x_(21),x_(22),x_(23)),(x_(31),x_(32),x_(33)))-((x_(11),x_(12),x_(13)),(x_(21),x_(22),x_(23)),(x_(31),x_(32),x_(33)))((-1,0,0),(0,0,0),(0,0,1))=lambda((x_(11),x_(12),x_(13)),(x_(21),x_(22),x_(23)),(x_(31),x_(32),x_(33))) rarr$

$rarr ((-lambdax_(11),(-lambda-1)x_(12),(-lambda-2)x_(13)),((-lambda+1)x_(21),-lambdax_(22),(-lambda-1)x_(23)),((-lambda+2)x_(31),(-lambda+1)x_(32),-lambdax_(33)))=((0,0,0),(0,0,0),(0,0,0))$

A questo punto, non è difficile determinare le soluzioni corrispondenti ai seguenti autovalori ed ai rispettivi autovettori:

$[lambda=-2] rarr ((0,0,x_(13)),(0,0,0),(0,0,0))$

$[lambda=-1] rarr ((0,x_(12),0),(0,0,x_(23)),(0,0,0))$

$[lambda=0] rarr ((x_(11),0,0),(0,x_(22),0),(0,0,x_(33)))$

$[lambda=1] rarr ((0,0,0),(x_(21),0,0),(0,x_(32),0))$

$[lambda=2] rarr ((0,0,0),(0,0,0),(x_(31),0,0))$

In definitiva, trattandosi di $[9]$ autovettori linearmente indipendenti, l'endomorfismo assegnato è senz'altro diagonalizzabile. Giova la pena sottolineare che, per costruire le matrici rispetto alla base canonica, bisognerebbe operare un cambiamento di base calcolando gli autovettori della matrice $[A]$. Ma poichè il testo non ne richiede la determinazione esplicita, la soluzione risulta senz'altro completa. In ogni modo, dopo aver calcolato gli autovettori della matrice $[A]$ e la corrispondente matrice di cambiamento di base:

$[lambda=-1] rarr (0,-2,1)$

$[lambda=0] rarr (1,1,3)$

$[lambda=1] rarr (1,0,3)$

$M=((0,1,1),(-2,1,0),(1,3,3)) rarr M^(-1)=((-3,0,1),(-6,1,2),(7,-1,-2))$

si può fare una verifica prendendo, per esempio, la matrice autovettore dell'endomorfismo assegnato corrispondente all'autovalore $[lambda=2]$:

$[lambda=2] rarr ((0,0,0),(0,0,0),(x_(31),0,0)) rarr X=((0,1,1),(-2,1,0),(1,3,3))((0,0,0),(0,0,0),(x_(31),0,0))((-3,0,1),(-6,1,2),(7,-1,-2)) rarr X=((-3x_(31),0,x_(31)),(0,0,0),(-9x_(31),0,3x_(31)))$

E infatti:

$AX-XA=((7,-1,-2),(-6,0,2),(24,-3,-7))((-3x_(31),0,x_(31)),(0,0,0),(-9x_(31),0,3x_(31)))-((-3x_(31),0,x_(31)),(0,0,0),(-9x_(31),0,3x_(31)))((7,-1,-2),(-6,0,2),(24,-3,-7))=2((-3x_(31),0,x_(31)),(0,0,0),(-9x_(31),0,3x_(31)))=2X$

[rinaldo901]

grazie mille speculor !!!!sei stato più che utile!!
grazie ancora ...