Diagonalizzabilità

[Anaklukes]

Salve a tutti. Scusate per la banalita del topic che ho aperto ma volevo porre una domanda circa la diagonalizzabilità di un endomorfismo $ F:R^3rarr R^3 $
Se trovo tre autovalori di cui uno è reale e due sono complessi coniugati, posso dire che l'applicazione è diagonalizzabile?
A me verrebbe da dire no nel campo dei reali, ma si nel campo dei complessi. Sbaglio?
Se poi, sempre in relazione allo stesso esempio di prima, mi chiede di trovare due basi distinte di $R^3$ contenenti ognuna un autovettore e contenenti autovettori distinti, come posso fare visto che ho solo un'autovalore reale a trovare due autovettori distinti?
Grazie.

[Pappappero1]

Se i tre autovalori sono distinti, la mappa è diagonalizzabile sul campo complesso. Se tutti gli autovalori sono reali, lo è pure sul campo reale. Chiaramente se due o più autovalori sono complessi, la mappa non è diagonalizzabile sul campo reale (la sua forma diagonale non sarebbe a coefficienti in $\RR$).

Cosa intendi per autovettori distinti? Dato un autovettore $v$, qualunque suo multiplo non nullo è ancora autovettore, quindi in questo senso ne hai a bizzeffe di autovettori distinti. Se per autovettori distinti intendi autovettori appartenenti ad autospazi distinti, in questo caso non puoi farlo, in quanto l'autospazio corrispondente a uno qualsiasi degli autovalori complessi non può intersecare il sottospazio reale (sapresti dire perché?).

[Anaklukes]

Purtroppo non avevo stupidamente pensato che posso avere tutti i vettori che voglio come multipli del vettore dato, e quindi, il testo, che è quello che ho scritto nel primo post, penso che si riferisca proprio a questa possibilità, altrimenti non potrei farlo. Ti ringrazio per la risposta.