Diagonabilizzabilità di una trasormazione lineare
Buonasera a tutti! Sto provando a fare questo esercizio :
Stabilire per quali valori del parametro razionale $ k in Q $ la seguente trasformazione lineare :
$ f(x,y,z)=((3-k)x+(k-1)y,(2-2k)x+2y+(k-1)z,(3-3k)x+(k-1)y+(k+1)z) $ è diagonalizzabile.
Per prima cosa ho scritto la matrice $ ( ( 3-k-x , k-1 , 0 ),( 2-k , 2-x , k-1 ),( 3-3k , k-1 , k+1-x ) ) $ , il polinomio caratteristico quindi sarà $ (3-k-x) * (2-x) * (k+1-x) $ .
Ora cosa dovrei fare? In alcuni esercizi già svolti ho visto che calcola il determinante per trovare i valori di $ x $ ma qui verrebbero fuori troppi calcoli e inoltre anche facendolo non troverei il valore di $ k $ . Sapete aiutarmi? Se dovesse servire ho anche il risultato: $ k=1 $ . Grazie.
Stabilire per quali valori del parametro razionale $ k in Q $ la seguente trasformazione lineare :
$ f(x,y,z)=((3-k)x+(k-1)y,(2-2k)x+2y+(k-1)z,(3-3k)x+(k-1)y+(k+1)z) $ è diagonalizzabile.
Per prima cosa ho scritto la matrice $ ( ( 3-k-x , k-1 , 0 ),( 2-k , 2-x , k-1 ),( 3-3k , k-1 , k+1-x ) ) $ , il polinomio caratteristico quindi sarà $ (3-k-x) * (2-x) * (k+1-x) $ .
Ora cosa dovrei fare? In alcuni esercizi già svolti ho visto che calcola il determinante per trovare i valori di $ x $ ma qui verrebbero fuori troppi calcoli e inoltre anche facendolo non troverei il valore di $ k $ . Sapete aiutarmi? Se dovesse servire ho anche il risultato: $ k=1 $ . Grazie.
Risposte
Se hai trovato il polinomio caratteristico $P(x)$ considera che gli autovalori sono le sue radici, le trovi dunque risolvendo $P(x)=0$ (rispetto a x ovviamente).
Dopo sfrutti il fatto che una trasformazione lineare si dice diagonalizzabile per similitudine $<=>$ ammette base spettrale $<=>$ la $\summg(x)=n=3$.
Dopo sfrutti il fatto che una trasformazione lineare si dice diagonalizzabile per similitudine $<=>$ ammette base spettrale $<=>$ la $\summg(x)=n=3$.
Ho fatto come negli altri esercizi, ho calcolato il determinante e alla fine ho trovato questo :
$ -2k^2-2k+3kx+8-9x+k^2x+2x^2-kx^2 $
E ora che dovrei fare? Non so proprio come procedere.. Una mia collega l'ha svolto e trova altri valori cioè questi :
$ -12x+6x^2-x^3+6 $
Credo di aver sbagliato qualche calcolo io ma in ogni caso ,anche se avessi trovato quest'altra equazione, che dovrei fare ora? Come trovo i valori di k? Grazie.
Ps: Confermo, ho fatto un errore e mi son venuti valori sballati, dovrebbe essere giusta l'equazione della mia collega.
$ -2k^2-2k+3kx+8-9x+k^2x+2x^2-kx^2 $
E ora che dovrei fare? Non so proprio come procedere.. Una mia collega l'ha svolto e trova altri valori cioè questi :
$ -12x+6x^2-x^3+6 $
Credo di aver sbagliato qualche calcolo io ma in ogni caso ,anche se avessi trovato quest'altra equazione, che dovrei fare ora? Come trovo i valori di k? Grazie.
Ps: Confermo, ho fatto un errore e mi son venuti valori sballati, dovrebbe essere giusta l'equazione della mia collega.
Forse ho risolto.. non c'entra nulla il determinante. Trovato il polinomio caratteristico che è $ (3-k-x)*(2-x)*(k+1-x) $ ricavo che $ x=3-k $ , $ x=2 $ , $ x=k+1 $ . Ora devo trovare i valori di k per cui almeno due dei valori di x coincidono. L'unico possibile è per $ k=1 $ .
Quindi se $ k=1 $ avro':
$ ( ( 2 , 0 , 0 ),( 0 , 2 , 0 ),( 0 , 0 , 2 ) ) $ e il polinomio caratteristico in questo caso sarà $ (2-x)*(2-x)*(2-x)$ . Per cui è diagonalizzabile per ogni k tranne $ k=1 $. Il risultato è questo, non so se il procedimento è corretto pero'.
Quindi se $ k=1 $ avro':
$ ( ( 2 , 0 , 0 ),( 0 , 2 , 0 ),( 0 , 0 , 2 ) ) $ e il polinomio caratteristico in questo caso sarà $ (2-x)*(2-x)*(2-x)$ . Per cui è diagonalizzabile per ogni k tranne $ k=1 $. Il risultato è questo, non so se il procedimento è corretto pero'.
Scusa un attimo ma non avevi detto che il risultato era "è diagonalizzabile per k=1"?
Adesso hai appeno scritto che è diagonalizzabile per ogni k tranne k=1? O.o
Adesso hai appeno scritto che è diagonalizzabile per ogni k tranne k=1? O.o
Ehm ok mi sono espresso male xD Volevo dire il contrario scusa xD
Ok, potresti ricontrollare se hai ricopiato bene sul forum tutta la trasformazione lineare ?
In particolare non capisco perchè nella matrice in posizione $(2,1)$ c'è $2-k$ invece che $2-2k$ !!
In particolare non capisco perchè nella matrice in posizione $(2,1)$ c'è $2-k$ invece che $2-2k$ !!
Si ho copiato male io, è 2-2k. Poi per il resto è giusta.
Ok ti scrivo come la faccio io:
Allora, sia $T:RR^3->RR^3|T(x,y,z)=((3-k)x+(k-1)y,(2-2k)x+2y+(k-1)z,(3-3k)x+(k-1)y+(k+1)z) $
Si ha che:
$T(1,0,0)=(3-k,2-2k,3-3k)$
$T(0,1,0)=(k-1,2,k-1)$
$T(0,0,1)=(0,k-1,k+1)$
E ottieni che la matrice $A$ associata a $T$ rispetto alla base canonica (non importa la base scelta in quanto matrici rappresentanti la stessa trasformazione rispetto a basi diverse si dicono simili e hanno lo stesso polinomio caratteristico) è $A=((3-k,k-1,0),(2-2k,2,k-1),(3-3k,k-1,k+1))$.
Vuoi trovare gli autovalori ovvero quei particolari vettori che rispettano la seguente uguaglianza: $T(v)=\lambdav$ (in sostanza quelli che la trasformazione manda in multipli di se stessi).
Quindi è evidente che $(A-\lambdaI)*v=0$.
Il polinomio caratteristico è appunto $P(\lambda)=|A-\lambdaI|=det((3-k-\lambda,k-1,0),(2-2k,2-\lambda,k-1),(3-3k,k-1,k+1-\lambda))=-(\lambda-2)^3$
L'unico autovalore è $\lambda=2$ e si ha che $ma(2)=3=>mg(2)<=3$.
Chiaramente ammette base spettrale $<=>mg(2)=3$.
Hai che $mg(2)=dim(U\lambda=2)=3-\rho((3-k-2,k-1,0),(2-2k,2-2,k-1),(3-3k,k-1,k+1-2))$.
Cioè devi imporre che $rho((1-k,k-1,0),(2-2k,0,k-1),(3-3k,k-1,k-1))=0$
Questo accade solo nel caso in cui ${(det((k-1,0),(0,k-1))=0<=>k=1),(det((k-1,0),(k-1,k-1))=0<=>k=1),(det((1-k,0),(2-2k,k-1))=0<=>k=1),(det((1-k,0),(3-3k,k-1))=0<=>k=1):}$
Quindi hai che il $rho((1-k,k-1,0),(2-2k,0,k-1),(3-3k,k-1,k-1))=0 <=> k=1=>mg(2)=3=>$ è diagonalizzabile per similitudine!
P.s. Ho tralasciato il fatto di porre uguale a zero tutti i singoli elementi della matrice perchè è evidente che ciò accade solo per $k=1$, in realtà puoi evitare il sistema con gli orlati dal momento che dici che per $k!=1$ il rango è almeno $1$!!
Allora, sia $T:RR^3->RR^3|T(x,y,z)=((3-k)x+(k-1)y,(2-2k)x+2y+(k-1)z,(3-3k)x+(k-1)y+(k+1)z) $
Si ha che:
$T(1,0,0)=(3-k,2-2k,3-3k)$
$T(0,1,0)=(k-1,2,k-1)$
$T(0,0,1)=(0,k-1,k+1)$
E ottieni che la matrice $A$ associata a $T$ rispetto alla base canonica (non importa la base scelta in quanto matrici rappresentanti la stessa trasformazione rispetto a basi diverse si dicono simili e hanno lo stesso polinomio caratteristico) è $A=((3-k,k-1,0),(2-2k,2,k-1),(3-3k,k-1,k+1))$.
Vuoi trovare gli autovalori ovvero quei particolari vettori che rispettano la seguente uguaglianza: $T(v)=\lambdav$ (in sostanza quelli che la trasformazione manda in multipli di se stessi).
Quindi è evidente che $(A-\lambdaI)*v=0$.
Il polinomio caratteristico è appunto $P(\lambda)=|A-\lambdaI|=det((3-k-\lambda,k-1,0),(2-2k,2-\lambda,k-1),(3-3k,k-1,k+1-\lambda))=-(\lambda-2)^3$
L'unico autovalore è $\lambda=2$ e si ha che $ma(2)=3=>mg(2)<=3$.
Chiaramente ammette base spettrale $<=>mg(2)=3$.
Hai che $mg(2)=dim(U\lambda=2)=3-\rho((3-k-2,k-1,0),(2-2k,2-2,k-1),(3-3k,k-1,k+1-2))$.
Cioè devi imporre che $rho((1-k,k-1,0),(2-2k,0,k-1),(3-3k,k-1,k-1))=0$
Questo accade solo nel caso in cui ${(det((k-1,0),(0,k-1))=0<=>k=1),(det((k-1,0),(k-1,k-1))=0<=>k=1),(det((1-k,0),(2-2k,k-1))=0<=>k=1),(det((1-k,0),(3-3k,k-1))=0<=>k=1):}$
Quindi hai che il $rho((1-k,k-1,0),(2-2k,0,k-1),(3-3k,k-1,k-1))=0 <=> k=1=>mg(2)=3=>$ è diagonalizzabile per similitudine!
P.s. Ho tralasciato il fatto di porre uguale a zero tutti i singoli elementi della matrice perchè è evidente che ciò accade solo per $k=1$, in realtà puoi evitare il sistema con gli orlati dal momento che dici che per $k!=1$ il rango è almeno $1$!!
Devo approfondire dei concetti ma diciamo che ho capito! Grazie mille!
Prego 
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