Diagonabilizzabilità del seguente endorfismo.

[ingegnè]

Ciao a tutti, sto davvero uscendo pazzo con questo esercizio. L'esercizio è il seguente: Stabilire per quali valori di $ k $ è diagonalizzabile il seguente endorfismo $ f(x,y,z) = ( (4-k)y+(7-k)x,(2k-4)y+(2k-7)x,5z) $ . Io l'ho svolto cosi' :
$ ( ( 7-k , 4-k , 0 ),( 2k-7 , 2k-4 , 0 ),( 0 , 0 , 5 ) ) = $ $ ( ( 7-k , 4-k , 0 ),( k , k , 0 ),( 0 , 0 , 5 ) ) = $ $ ( ( 3 , 4-k , 0 ),( 0 , k , 0 ),( 0 , 0 , 5 ) ) = $ $ ( ( 3-x , 4-k , 0 ),( 0 , k-x , 0 ),( 0 , 0 , 5-x ) ) $.
Polinomio caratteristico : $ (3-x) (k-x) (5-x ) $ , quindi $ k=3;5 $ .
Se $ k=3 $ $ -> x=3 $ $ -> ( ( 0 , 1 , 0 ),( 0 , 0 , 0 ),( 0 , 0 , 2 ) ) $ Rango $ =1 $
Molteplicità geometrica ( num. ingognite - rango ) $ =2 $
Molteplicità algebrica (num. volte in cui x assume stesso valore ) $ =2 $
Per $ k=3 $ quindi a me viene diagonalizzabile.

Se $ k=5 $ $ -> x=5 $ $ -> ( ( -2 , -1 , 0 ),( 0 , 0 , 0 ),( 0 , 0 , 0 ) ) $ Rango $ =1 $
M.G $ =2 $
M.A $ =2 $
Anche per $ k=5 $ mi viene diagonalizzabile.
Fin qui tutto ok.. ma.. perchè il risultato dovrebbe essere $ AA K!= 3 $ ??!!
Aiutatemi vi prego! Non capisco dove sbaglio!!!! Grazie

[vittorino70]

Guarda che nel caso k=3=x il rango della matrice è 2 e non 1.Basta per questo considerare il minore che si forma con l'incrocio delle righe 1 e 3 con le colonne 2 e 3.Il minore in questione è:
\(\displaystyle \begin{vmatrix} 1&0\\0&2 \end{vmatrix}\)
il cui determinante è 2 diverso da zero.

[ingegnè]

Grazie vittorino.. pensavo che il minore dovessi considerarlo senza poter incrociare righe e colonne..!