Diagonabilizzabilità al variare di k
Salve,
mi è chiaro il linea generale l'esercizio, ma devo aver sbagliato qualcosa nella risoluzione e non riesco proprio a capire dove...
Chiedo umilmente un vostro parere
Considerata la matrice $A_k=((4-2k^2, 0, k^2-1),(0, 1+k, 2-2k),(4-4k^2, 0, 2k^2))$ devo
1) Trovare gli autovalori
2) Studiare la diagonalizzabilità al variare di k
(Ci sono anche altre tracce ma per ora mi fermo qui)
Ora:
$A_k-\lambdaI_3=((4-2k^2-\lambda, 0, k^2-1),(0, 1+k-\lambda, 2-2k),(4-4k^2, 0, 2k^2-\lambda))$
Riducendo la matrice a scala ottengo:
$A_k-\lambdaI_3=((4-2k^2-\lambda, 0, k^2-1),(0, 1+k-\lambda, 2-2k),(0, 0, (\lambda^2-4\lambda+4)/(4-2k^2-\lambda)))$
da cui
$p(\lambda)=(\lambda-2)(-\lambda^2+(k+3)\lambda+(-2k-2)$
Da $p(\lambda)=0$ ottengo, tramite Ruffini e la formula del delta, $\lambda_1=2, \lambda_2=2, \lambda_3=k+1$
Se quindi la molteplicità geometrica dell'autovalore 2 fosse uguale alla molteplicità algebrica ($m_a(2)=m_g(2)=2$) potrei concludere il punto 2) dicendo che la matrice di partenza $A_k$ è diagonalizzabile per $k!=1$, altrimenti la molteplicità algebrica sarebbe diversa da quella geometrica. Qui sorge il problema.
Per $\lambda=2$ abbiamo $A_k-2I_3=((2-2k^2, 0, k^2-1),(0, k-1, 2-2k),(4-4k^2, 0, 2k^2-2))=((2-2k^2, 0, k^2-1),(0, k-1, 2-2k),(0, 0, 0))$
Quindi $m_g(2)=n-rg(A_k-2I_3)=3-2=1$. In questo modo avrei trovato che la matrice non è diagonalizzabile $AAkinRR$, ma l'esercizio continua sullo sviluppo della diagonalizzabilità, quindi non credo che questa soluzione sia ammissibile... Dove sbaglio? Grazie in anticipo
mi è chiaro il linea generale l'esercizio, ma devo aver sbagliato qualcosa nella risoluzione e non riesco proprio a capire dove...
Chiedo umilmente un vostro parere
Considerata la matrice $A_k=((4-2k^2, 0, k^2-1),(0, 1+k, 2-2k),(4-4k^2, 0, 2k^2))$ devo
1) Trovare gli autovalori
2) Studiare la diagonalizzabilità al variare di k
(Ci sono anche altre tracce ma per ora mi fermo qui)
Ora:
$A_k-\lambdaI_3=((4-2k^2-\lambda, 0, k^2-1),(0, 1+k-\lambda, 2-2k),(4-4k^2, 0, 2k^2-\lambda))$
Riducendo la matrice a scala ottengo:
$A_k-\lambdaI_3=((4-2k^2-\lambda, 0, k^2-1),(0, 1+k-\lambda, 2-2k),(0, 0, (\lambda^2-4\lambda+4)/(4-2k^2-\lambda)))$
da cui
$p(\lambda)=(\lambda-2)(-\lambda^2+(k+3)\lambda+(-2k-2)$
Da $p(\lambda)=0$ ottengo, tramite Ruffini e la formula del delta, $\lambda_1=2, \lambda_2=2, \lambda_3=k+1$
Se quindi la molteplicità geometrica dell'autovalore 2 fosse uguale alla molteplicità algebrica ($m_a(2)=m_g(2)=2$) potrei concludere il punto 2) dicendo che la matrice di partenza $A_k$ è diagonalizzabile per $k!=1$, altrimenti la molteplicità algebrica sarebbe diversa da quella geometrica. Qui sorge il problema.
Per $\lambda=2$ abbiamo $A_k-2I_3=((2-2k^2, 0, k^2-1),(0, k-1, 2-2k),(4-4k^2, 0, 2k^2-2))=((2-2k^2, 0, k^2-1),(0, k-1, 2-2k),(0, 0, 0))$
Quindi $m_g(2)=n-rg(A_k-2I_3)=3-2=1$. In questo modo avrei trovato che la matrice non è diagonalizzabile $AAkinRR$, ma l'esercizio continua sullo sviluppo della diagonalizzabilità, quindi non credo che questa soluzione sia ammissibile... Dove sbaglio? Grazie in anticipo
Risposte
Se $k=-1$ la tua matrice ha rango 1 e quindi la molteplicita' geometrica e' due..
il polinomio caratteristico è per definizione $det(A-lambdaI)$. per trovarlo va bene anche ridurre ma attenta che il determinante cambia ad ogni operazione che fai nella riduzione. è molto più semplice calcolare direttamente il determinante.
"cooper":
il polinomio caratteristico è per definizione $det(A-lambdaI)$. per trovarlo va bene anche ridurre ma attenta che il determinante cambia ad ogni operazione che fai nella riduzione. è molto più semplice calcolare direttamente il determinante.
Sì sì, se scambio righe e/o colonne durante la riduzione devo cambiare il segno del determinante, ma in questo caso ho adottato Gauss perché è più conveniente, mi basta sottrarre una riga all'atra!
"ludovica_97":
Se k=−1 la tua matrice ha rango 1 e quindi la molteplicita' geometrica e' due..
Grazie per la dritta, non ci avevo pensato
](/datas/uploads/forum/emoji/eusa_wall.gif "Brick wall")
Aspettate però, l'eliminazione di Gauss per ridurre a scala è un'operazione che non conserva gli autovalori!
"Marco98k":
Aspettate però, l'eliminazione di Gauss per ridurre a scala è un'operazione che non conserva gli autovalori!
hence my post. quello che ha fatto l'utente è errato perchè non ha tenuto traccia delle modifiche al determinante. sottraendo e facendo altre operazioni il determinante cambia. non puoi ridurre così a cuor leggere e sperare di trovare gli autovalori corretti.
"cooper":
[quote="Marco98k"]Aspettate però, l'eliminazione di Gauss per ridurre a scala è un'operazione che non conserva gli autovalori!
hence my post. quello che ha fatto l'utente è errato perchè non ha tenuto traccia delle modifiche al determinante. sottraendo e facendo altre operazioni il determinante cambia. non puoi ridurre così a cuor leggere e sperare di trovare gli autovalori corretti.[/quote]
Sì esatto
"cooper":
[quote="Marco98k"]Aspettate però, l'eliminazione di Gauss per ridurre a scala è un'operazione che non conserva gli autovalori!
hence my post. quello che ha fatto l'utente è errato perchè non ha tenuto traccia delle modifiche al determinante. sottraendo e facendo altre operazioni il determinante cambia. non puoi ridurre così a cuor leggere e sperare di trovare gli autovalori corretti.[/quote]
Chiedo venia, anche se in effetti è facilmente dimostrabile che la riduzione di Gauss non mantenga la similitudine, non ero a conoscenza di questa cosa
L'operazione che CarfRip ha fatto sulle righe non altera il determinante.
non riesco a capire che operazioni abbia fatto quindi non ho modo di verificare. potresti mostrarmi perchè?
"CarfRip":
$A_k-\lambdaI_3=((4-2k^2-\lambda, 0, k^2-1),(0, 1+k-\lambda, 2-2k),(4-4k^2, 0, 2k^2-\lambda))$
Riducendo la matrice a scala ottengo:
$A_k-\lambdaI_3=((4-2k^2-\lambda, 0, k^2-1),(0, 1+k-\lambda, 2-2k),(0, 0, (\lambda^2-4\lambda+4)/(4-2k^2-\lambda)))$
Tra le righe 3 e 1 ho eseguito questa operazione: $III-(4-4k^2)/(4-2k^2-\lambda)I$
e quindi sommando ad una riga un multiplo scalare di un'altra riga non si modifica il determinante! vero
"cooper":
e quindi sommando ad una riga un multiplo scalare di un'altra riga non si modifica il determinante! vero
Se ho capito bene, dunque, l'unico accorgimento che bisogna prendere per poter fare questo tipo di procedimento è non scambiare righe e/o colonne, giusto?
Mi dispiace aver creato tanto baccano ma con la riduzione a scala i conti si semplificano di molto, il classico metodo di calcolo del determinante porta via un sacco di tempo e voglia di studiare
"CarfRip":
Se ho capito bene, dunque, l'unico accorgimento che bisogna prendere per poter fare questo tipo di procedimento è non scambiare righe e/o colonne, giusto?
in pratica si. cambierebbe anche se dividessi per uno scalare e basta ma in una riduzione di Gauss non accade mai in effetti.
"CarfRip":
Mi dispiace aver creato tanto baccano
ma che baccano! almeno ho notato una cosa nuova grazie al post!
Ti ringrazio di cuore! 
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