Determinazione del complemento ortogonale di un sottospazio
Salve ragazzi.
I protagonisti sono uno spazio euclideo $(V,g)$ ($g(.,.)$ prodotto scalare) e un suo sottospazio non fesso $W$.
Nel dimostrare che
\[V=W\oplus W^\perp\]
la Prof. fornì una sorta di algoritmo per determinare esplicitamente il complemento ortogonale di $W$. Si parte dal considerare una base $(w_1,...,w_r)$ di $W$, la si completa a una base $\mathcal{B}$ di $V$ e quest'ultima si applica il procedimento di ortogonalizzazione di Gram-Schmidt per ottenere una base ortogonale $\mathcal{B}_O=(v_1,...,v_n)$; si ha
\[\langle v_1,\dots,v_r\rangle=\langle w_1,\dots,w_r\rangle=W\]
e si prova che
\[\langle v_{r+1},\dots,v_n\rangle =W^\perp\]
Rileggendo qualche esercizio svolto in aula in cui si richiede di determinare il complemento ortogonale di un sottospazio assegnato, noto che la Prof. segue passo passo l'algoritmo appena descritto.
Tale procedimento mi sembra abbastanza seccante, soprattutto se $V$ non è il solito $RR^n$ e $g$ non è il solito prodotto scalare standard $g_0$. Ragionando un po' mi è venuto in mente quanto segue: un vettore $v\in V$ sta nel complemento ortogonale di $W=\langle w_1,...,w_r\rangle$ se e solo se
\[\forall i=1,\dots, r,\qquad g(v,w_i)=0\tag{1}\]
Se $\mathcal{B}$ è una base ortonormale di $V$, la condizione $(1)$ si può esprimere facilmente[nota]Da un punto di vista computazionale.[/nota] attraverso le coordinate dei vettori; posto[nota]Con $\phi_\mathcal{B}$ denoto l'isomorfismo che a ciascun vettore di $V$ associa le sue coordinate rispetto a $\mathcal{B}$.[/nota] $A_i:=\phi_\mathcal{B}(w_i)\in RR^n$ e $X:=\phi_\mathcal{B}(v)\in RR^n$, la $(1)$ equivale a
\[A_1^TX=A_2^TX=\cdots=A_r^TX=0 \tag{2}\]
Ponendo poi
\[A:=
\begin{pmatrix}
A_1^T\\
\vdots\\
A_r^T
\end{pmatrix}\in\mathcal{M}^r_n(\mathbb{R})
\]
posso esprimere la $(2)$ come la forma matriciale di un sistema lineare omogeneo, i.e.
\[AX=0_{\mathbb{R}^n}\]
le cui soluzioni sono le coordinate di tutti e soli i vettori del complemento ortogonale di $W$. Un procedimento del genere mi sembra più rapido e meno snervante.
Giusto? Che ne pensate?
I protagonisti sono uno spazio euclideo $(V,g)$ ($g(.,.)$ prodotto scalare) e un suo sottospazio non fesso $W$.
Nel dimostrare che
\[V=W\oplus W^\perp\]
la Prof. fornì una sorta di algoritmo per determinare esplicitamente il complemento ortogonale di $W$. Si parte dal considerare una base $(w_1,...,w_r)$ di $W$, la si completa a una base $\mathcal{B}$ di $V$ e quest'ultima si applica il procedimento di ortogonalizzazione di Gram-Schmidt per ottenere una base ortogonale $\mathcal{B}_O=(v_1,...,v_n)$; si ha
\[\langle v_1,\dots,v_r\rangle=\langle w_1,\dots,w_r\rangle=W\]
e si prova che
\[\langle v_{r+1},\dots,v_n\rangle =W^\perp\]
Rileggendo qualche esercizio svolto in aula in cui si richiede di determinare il complemento ortogonale di un sottospazio assegnato, noto che la Prof. segue passo passo l'algoritmo appena descritto.
Tale procedimento mi sembra abbastanza seccante, soprattutto se $V$ non è il solito $RR^n$ e $g$ non è il solito prodotto scalare standard $g_0$. Ragionando un po' mi è venuto in mente quanto segue: un vettore $v\in V$ sta nel complemento ortogonale di $W=\langle w_1,...,w_r\rangle$ se e solo se
\[\forall i=1,\dots, r,\qquad g(v,w_i)=0\tag{1}\]
Se $\mathcal{B}$ è una base ortonormale di $V$, la condizione $(1)$ si può esprimere facilmente[nota]Da un punto di vista computazionale.[/nota] attraverso le coordinate dei vettori; posto[nota]Con $\phi_\mathcal{B}$ denoto l'isomorfismo che a ciascun vettore di $V$ associa le sue coordinate rispetto a $\mathcal{B}$.[/nota] $A_i:=\phi_\mathcal{B}(w_i)\in RR^n$ e $X:=\phi_\mathcal{B}(v)\in RR^n$, la $(1)$ equivale a
\[A_1^TX=A_2^TX=\cdots=A_r^TX=0 \tag{2}\]
Ponendo poi
\[A:=
\begin{pmatrix}
A_1^T\\
\vdots\\
A_r^T
\end{pmatrix}\in\mathcal{M}^r_n(\mathbb{R})
\]
posso esprimere la $(2)$ come la forma matriciale di un sistema lineare omogeneo, i.e.
\[AX=0_{\mathbb{R}^n}\]
le cui soluzioni sono le coordinate di tutti e soli i vettori del complemento ortogonale di $W$. Un procedimento del genere mi sembra più rapido e meno snervante.
Giusto? Che ne pensate?
Risposte
Per il prodotto standard il procedimento è corretto, per gli altri basta fare una piccola modifica con la matrice associata al nuovo prodotto ma per il resto non cambia nulla.
Si, questo è il modo consueto con cui si calcola l'ortogonale di un sottospazio.Valer per ogni prodotto definito.
Ciao ragazzi
Cioè?
"Pierlu11":
Per il prodotto standard il procedimento è corretto, per gli altri basta fare una piccola modifica
Cioè?
Devi mettere di mezzo la matrice associata al prodotto (il procedimento senza utilizzare la matrice funziona per ogni prodotto se le basi che consideri sono ortonormali)
L'ho specificato, ti sarà sfuggito 
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