Determinazione conica dato diametro e2 punti coniugati
salve a tutti ho qui una traccia e molti molti dubbi...
la traccia è la segnuente:
scrivere l'equazione della conica contenente i punti $A=(1,-1)$ $B=(-1,1)$ avente la retta AB come diametro nella direzione data dal punto $P_00=(1,0,0)$ e tale che i punti $R=(0,1)$ ed $Q=(3,-1)$ siano coniugati.
la retta AB e' :$x+y=0$ calcolata con la formula della retta per due punti..
so che due punti sono coniugati quando l'uno appartiene alla polare dell'altro
che la polare di un punto $X'$ è data da: $X'^(t)AX=0$ dove A è la matrice che caratterizza la conica
dopodichè mi blocco:(
la traccia è la segnuente:
scrivere l'equazione della conica contenente i punti $A=(1,-1)$ $B=(-1,1)$ avente la retta AB come diametro nella direzione data dal punto $P_00=(1,0,0)$ e tale che i punti $R=(0,1)$ ed $Q=(3,-1)$ siano coniugati.
la retta AB e' :$x+y=0$ calcolata con la formula della retta per due punti..
so che due punti sono coniugati quando l'uno appartiene alla polare dell'altro
che la polare di un punto $X'$ è data da: $X'^(t)AX=0$ dove A è la matrice che caratterizza la conica
dopodichè mi blocco:(
Risposte
Vuoi dire che \(\displaystyle P_{\infty} \) è il polo del diametro AB ( di equazione \(\displaystyle x+y=0) \) ? Se è cosi allora puoi fare come segue.
Il centro della conica è evidentemente il punto medio di AB. Ovvero l'origine O(0,0,1).
La retta \(\displaystyle OP_{\infty} \), di equazione \(\displaystyle y=0 \), sarà allora il diamentro coniugato di AB.
Ora accade che l'equazione della conica, avente come diametri coniugati le rette di equazione
\(\displaystyle d_1=0,d_2=0 \), è :
\(\displaystyle \lambda d_1^2+\mu d_2^2=1 \)
Nel nostro caso detta equazione risulta essere :
(1) \(\displaystyle \lambda (x+y)^2+\mu y^2=1 \)
Facendo i soliti calcoli, si trova che la polare di \(\displaystyle R(0,1,1) \) è :
\(\displaystyle \lambda x+(\lambda+\mu) y-1=0 \)
Imponendo che passi per il punto \(\displaystyle Q(3,-1,1) \) si ha : \(\displaystyle \mu=2\lambda-1 \)
che sostituito nella (1) porta a :
(2) \(\displaystyle \lambda (x+y)^2+(2\lambda-1)y^2=1 \)
Ora non resta che imporre che la (2) passi per il punto A ( o per B) e si ottiene : \(\displaystyle \lambda=1 \)
che sostituito nella (2) dà l'equazione richiesta della conica :
\(\displaystyle x^2+2xy+2y^2=1 \)
Salvo e&o
Il centro della conica è evidentemente il punto medio di AB. Ovvero l'origine O(0,0,1).
La retta \(\displaystyle OP_{\infty} \), di equazione \(\displaystyle y=0 \), sarà allora il diamentro coniugato di AB.
Ora accade che l'equazione della conica, avente come diametri coniugati le rette di equazione
\(\displaystyle d_1=0,d_2=0 \), è :
\(\displaystyle \lambda d_1^2+\mu d_2^2=1 \)
Nel nostro caso detta equazione risulta essere :
(1) \(\displaystyle \lambda (x+y)^2+\mu y^2=1 \)
Facendo i soliti calcoli, si trova che la polare di \(\displaystyle R(0,1,1) \) è :
\(\displaystyle \lambda x+(\lambda+\mu) y-1=0 \)
Imponendo che passi per il punto \(\displaystyle Q(3,-1,1) \) si ha : \(\displaystyle \mu=2\lambda-1 \)
che sostituito nella (1) porta a :
(2) \(\displaystyle \lambda (x+y)^2+(2\lambda-1)y^2=1 \)
Ora non resta che imporre che la (2) passi per il punto A ( o per B) e si ottiene : \(\displaystyle \lambda=1 \)
che sostituito nella (2) dà l'equazione richiesta della conica :
\(\displaystyle x^2+2xy+2y^2=1 \)
Salvo e&o
Vittorino70 mi è capitato lo stesso esercizio tra le mani qualche giorno fa e l'ho risolto usando l'equazione generale di una conica e man mano le varie condizioni.. ho visto anche il tuo procedimento è volevo capire come fai ad ottenere quell'equazione in lambda e mu a partire dai diametri $ lambdad_1^2+mud_2^2=1 $ ? Perché il tuo procedimento mi sembra molto più elegante
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