Determinazione base e dimensione
Ragazzi mi occorrerebbe un aiuto nello svolgere questo esercizio. Dato che non sono troppo pratico nell'inserire il testo, posto l'immagine dell'esercizio.
Sia dato il sottospazio
H= $\{((a,b),(c,d))$ $in$ $RR^(2,2)$ $|$ $\{(b + 2c = 0),(a - d = 0):}$
dell'insieme delle matrici 2x2 a coefficienti reali. Determinare una base per H e la dimensione di H.
2)Verificare se le matrici
$U=$ $\{((1,2),(-2,1)):} e V= \{((0,1),(-1,0)):}$
appartengano ad H ed in caso affermativo si dica se costituiscono una base per H $
Sia dato il sottospazio
H= $\{((a,b),(c,d))$ $in$ $RR^(2,2)$ $|$ $\{(b + 2c = 0),(a - d = 0):}$
dell'insieme delle matrici 2x2 a coefficienti reali. Determinare una base per H e la dimensione di H.
2)Verificare se le matrici
$U=$ $\{((1,2),(-2,1)):} e V= \{((0,1),(-1,0)):}$
appartengano ad H ed in caso affermativo si dica se costituiscono una base per H $
Risposte
Ti consiglio di adeguarti da subito alle regole del Forum ed imparare come si inseriscono le formule (clic).
Quanto allo svolgimento dell'esercizio si richiede di vedere almeno qualche tentativo di soluzione da parte di chi chiede .
Mi limito pertanto a darti un indizio .
Come sarà fatta la generica matrice appartenente ad H ?
Considera le relazioni tra i suoi elementi : $b=-2c ; d=a $ quindi la matrice sarà del tipo $((a,-2c),(c,a)) $ .
Adesso è semplice determinare la dimensione del sottospazio formato da queste matrici e anche una sua base.....
Quanto allo svolgimento dell'esercizio si richiede di vedere almeno qualche tentativo di soluzione da parte di chi chiede .
Mi limito pertanto a darti un indizio .
Come sarà fatta la generica matrice appartenente ad H ?
Considera le relazioni tra i suoi elementi : $b=-2c ; d=a $ quindi la matrice sarà del tipo $((a,-2c),(c,a)) $ .
Adesso è semplice determinare la dimensione del sottospazio formato da queste matrici e anche una sua base.....
Ciao grazie per aver risposto. Come puoi vedere, mi sono subito impegnato a scrivere il tutto secondo le regole del forum. Hai ragione nel dire che avrei dovuto cercare di farlo da solo, io ci ho provato ma non sapendo scrivere bene con questo codice non ho scritto le mie pochissime osservazioni che avevo al riguardo. Cioè con le matrici numeriche non ci sono grossi problemi. Il problema viene con queste, nel senso che non ne ho mai viste svolgere una. Per essere una base è necessario che siano i due vettori l.i. ma poi come procedo?
....
Forse questa?
$((x),(y))=((a),(-2c))$
$((x),(y))=((a),(-2c))$
no... quella proprio non può essere una base!
Ti consiglio di riguardarti la definizione di base.
Quello che voleva dire Sergio è che infondo non c'è molta differenza in questo caso tra vettore e matrice, cambia solo "la disposizione" degli oggetti. Se sai estrarre da un generico vettore di $RR^4$ una suona base, lo sai fare-perchè si fa allo stesso modo- anche dalle matrici $2x2$.
Pensaci un pò!
Ti consiglio di riguardarti la definizione di base.
Quello che voleva dire Sergio è che infondo non c'è molta differenza in questo caso tra vettore e matrice, cambia solo "la disposizione" degli oggetti. Se sai estrarre da un generico vettore di $RR^4$ una suona base, lo sai fare-perchè si fa allo stesso modo- anche dalle matrici $2x2$.
Pensaci un pò!
La definizione di base ormai l'ho imparata a memoria anche se non serve a molto....
Ecco ad esempio so estrarre una base da una matrice numerica, prendo i vettori che formano la matrice, faccio il determinante, se viene diverso da zero è una base, altrimenti c'è qualche vettore di troppo che è proporzionale agli altri o somma di altri vettori. Qui invece non riesco proprio a capire, quindi se qualcuno potrebbe svolgerlo almeno per capire il ragionamento gliene sarei molto grato. So che è lungo e fastidioso e se avessi almeno una vaga idea su come fare per impostarlo lo farei ma solo con gli indizi non riesco ad arrivarci. Grazie per la comprensione e scusate il disturbo.
Ecco ad esempio so estrarre una base da una matrice numerica, prendo i vettori che formano la matrice, faccio il determinante, se viene diverso da zero è una base, altrimenti c'è qualche vettore di troppo che è proporzionale agli altri o somma di altri vettori. Qui invece non riesco proprio a capire, quindi se qualcuno potrebbe svolgerlo almeno per capire il ragionamento gliene sarei molto grato. So che è lungo e fastidioso e se avessi almeno una vaga idea su come fare per impostarlo lo farei ma solo con gli indizi non riesco ad arrivarci. Grazie per la comprensione e scusate il disturbo.
Stiamo sull'esempio di Sergio ( poi passare al caso dell'esercizio cioè alla matrice $2x2$ è immediato).
Il sottospazio definito da $((a),(-2c),(c),(a))$ contiene 2 variabili libere che sono $a,c $ .
Dunque la dimensione di quel sottospazio è 2.
Adesso bisogna trovarne una base che ovviamente sarà formata da due vettori linearmente indipendenti tra loro .
Per determinarli assegna dei valori alle variabili libere :
ad es. $a=1, c=0$ e ottieni il primo vettore della base :$ ((1),(0),(0),(1))$.
Cerca ora il secondo vettore assegnando altri valori alle variabili libere ad es $a=0, c=1 $ e otterrai... prosegui tu.
Il sottospazio definito da $((a),(-2c),(c),(a))$ contiene 2 variabili libere che sono $a,c $ .
Dunque la dimensione di quel sottospazio è 2.
Adesso bisogna trovarne una base che ovviamente sarà formata da due vettori linearmente indipendenti tra loro .
Per determinarli assegna dei valori alle variabili libere :
ad es. $a=1, c=0$ e ottieni il primo vettore della base :$ ((1),(0),(0),(1))$.
Cerca ora il secondo vettore assegnando altri valori alle variabili libere ad es $a=0, c=1 $ e otterrai... prosegui tu.
Scusa Sergio non avevo visto 
ma non potete farlo voi per piacare tutto non ci riesco
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