Determinazione autovalori matrice 3x3

[fausto94]

Buonasera,

devo determinare gli autovalori di questa matrice di ordine 3

\( \begin{pmatrix} 1 & -1 & 1 \\ 1 & -1 & 1 \\ 1 & -1 & 1 \end{pmatrix} \)

Per determinare gli autovalori ho scritto la matrice A - \( \lambda \)*Id e ne ho cercato il determinante con Laplace applicato alla prima colonna.

Mi risultano gli autovalori \( \lambda \) = 0 e \( \lambda \) = 1, dove vado a trovare l'autovettore dell'autovalore 1 = (0,1,1) , ma poi per l'autovalore 0 cosa dovrei fare? se provo a risolverlo mi verrebbe l'autovettore (1,1,1) ma mi dicono che dovrei avere \( \lambda \) = 1 e \( \lambda \) = -1.

Qualcuno può aiutarmi?

Grazie

[Magma1]

Buonasera

Data la funzione $L_A qquad : RR^3->R^3$ definita ponendo

$L_A(v)=Av= ((1,-1,1),(1,-1,1),(1,-1,1) )((x),(y),(z))$

Preliminarmente si osserva che

$r(A)=1 \rArr [ dim(Im(L_A))=1 ^^ dim (Ker)=3-1=2 ]$

i.e. un autovettore apparterrà all'immagine dell'applicazione e gli altri due al nucleo.

Inoltre, per definizione, $lambda$ è autovalore se $EE v : L_A(v)=\lambda v$; quindi un possibile autovettore $v_1 in Im(L_A)$ è dato da

$((1),(1),(1))$

con relativo autovalore $lambda_1=1$

Gli altri due autovettori $v_(2,1), v_(2,2)$ relativi all'autovalore $lambda_(2)=0$, vanno cercati nel $ker$ dell'applicazione:

$((1),(1),(0)), ((0),(1),(1))$