Determinazione applicazione affine

[egregio]

Determinare un'applicazione affine f di $R^3$ avente come Imf un piano parallelo a x-y+z=0.

Ho provato a risolverlo così:
Poichè Imf ha dimensione 2 (per nota relazione tra rango nullità e dimensione spazio vettoriale), Kerf ha dimensione 1.
Dunque deve esistere un vettore (e tutti quelli ad esso proporzionali) la cui immagine è il vettore nullo di $R^3$.
Ho preso i seguenti tre generici punti di $R^3$:
$(1,1,1)$,$(2,1,1)$,$(1,1,2)$
e li ho associati rispettivamente ai seguenti vettori
$(0,0,0)$(vettore nullo per quanto detto sopra),$(1,1,0)$,$(0,2,2)$.
Ho creato il seguente sistema affine:
$(2,1,1)-(1,1,1),(1,1,2)-(1,1,1)=(1,0,0),(0,1,0)]$
Ho completato il seguente sistema con un terzo punto indipendente (0,0,1), ottenendo così una base di $R^3$, e gli associo come immagine (1,-2,1).
Mando tali vettori rispettivamente nei seguneti vettori differenza $(1,1,0),(0,2,2),(1,-2,1)$
Ora ho scritto il generico vettore $(x,y,z)$ come combinazione lineare dei vettori della base formata.
E ho trovato i seguenti scalari (a=x,b=y,c=z).
Dunque $f(x,y,z)=xf(1,0,0)+yf(0,1,0)+zf(0,0,1)$
e quindi
$f(x,y,z)=x(1,1,0)+y(0,2,2)+z(1,-2,1)$
ottenendo così:
$f(x,y,z)=(x+z,x+2y-2z,2y+z)$
Per rappresentarlo non ho fatto altro che trovare la matrice rappresentativa
dunque:
$((1,0,1),(1,2,-2),(0,2,1))$
dunque si ha $y=((1,0,1),(1,2,-2),(0,2,1))(x,y,z)+(1,1,1)$
Ovviamente $(x,y,z)$ e $(1,1,1)$ sono vettori colonna.
Vi prego, ditemi se il procedimento è giusto o meno.

[franced]

"biggest":
Determinare un'applicazione affine f di $R^3$ avente come Imf un piano parallelo a x-y+z=0.

Secondo me hai fatto troppi calcoli;
basta prendere tre vettori appartenenti a $x-y+z=0$, li metti per colonne in una matrice
e poi prendi come vettore di traslazione un qualsiasi vettore che non sta su $x-y+z=0$.

Può andar bene, ad esempio, il seguente endomorfismo:

$((x),(y),(z)) -> ((1,3,1),(0,4,2),(-1,1,1)) ((x),(y),(z)) + ((7),(2),(-1))$

[franced]

"biggest":Determinare un'applicazione affine f di $R^3$ avente come Imf un piano parallelo a x-y+z=0.
dunque si ha $y=((1,0,1),(1,2,-2),(0,2,1))(x,y,z)+(1,1,1)$
Ovviamente $(x,y,z)$ e $(1,1,1)$ sono vettori colonna.

A parte che non si scrive $y=...$
c'è un segno sbagliato: come terza colonna puoi scegliere $((1),(2),(1))$ .

[egregio]

sul mio libro così scrive

[egregio]

si, si , ovviamente è inteso come vettore colonna(lo scrive all'inizio del paragrafo).
e riguardo al mio procedimento?

[franced]

Una osservazione: la matrice in ogni caso deve avere rango 2, in quanto il testo
dell'esercizio dice chiaramente che l'immagine deve essere un piano.

Per Sergio: troppi complimenti!

[Alexp1]

[mod="Alexp"]
Ciao biggest, ho provveduto io a modificarti il titolo del topic, eliminando i caratteri maiuscoli come da regolamento.....la prossima volta , mi raccomando evita...
[/mod]