Determinare vettori appartenenti a certi span
Ciao.
Secondo voi è possibile determinare un vettore v tale che appartenga allo span di v1,v2,v3 ma NON allo span di v1,v2?
Secondo me no perché se appartiene allo span di v1,v2,v3 come fa a non appartenere allo span di v1 e v2?
Però non sono convinta...
Secondo voi è possibile determinare un vettore v tale che appartenga allo span di v1,v2,v3 ma NON allo span di v1,v2?
Secondo me no perché se appartiene allo span di v1,v2,v3 come fa a non appartenere allo span di v1 e v2?
Però non sono convinta...
Risposte
Ciao!Non vorrei sbagliare, ma se prendi per esempio v1 (1,0,0) v2 (0,1,0) v3 (0,0,1) e il vettore (0,0,3) esso appartiene allo span dei 3 vettori perché è linearmente dipendente da quei 3 vettori, mentre con i vettori v1, v2 è linearmente indipendente quindi non appartiene allo span generato da quei 2 vettori...però aspetterei la conferma di uno più esperto di me
"6x6Casadei":
Ciao!Non vorrei sbagliare, ma se prendi per esempio v1 (1,0,0) v2 (0,1,0) v3 (0,0,1) e il vettore (0,0,3) esso appartiene allo span dei 3 vettori perché è linearmente dipendente da quei 3 vettori, mentre con i vettori v1, v2 è linearmente indipendente quindi non appartiene allo span generato da quei 2 vettori
Più o meno sì. In generale, prendi un multiplo qualsiasi di $v_3$ e hai il tuo vettore (ammesso che $v_1,v_2,v_3$ siano effettivamente linearmente indipendenti, perché se $v_3 = a*v_1 + b*v_2, a,b in K$, dove $K$ è il campo di scalari del tuo spazio vettoriale, non è possibile trovare un tale $v_3$, perché si avrebbe $
Uhm. E invece è possibile determinare 4 vettori di $R^2[x]$ che abbiano tutte le seguenti proprietà:
- v1, v2, v3, v4 generano $R^2[x]$
- v4 non appartenga allo span di v1,v2,v3
Allora, se $R^2[x]$ ha dim. 3 sappiamo che 4 vettori devono essere per forza lin. dipendenti, perché almeno 1 sarà combinazione lineare degli altri 3.
Perciò direi che la risposta è no. Se v4 non appartiene allo span di v1,v2,v3 allora v1,v2,v3 non sono base e quindi non generano.
Che dite?
- v1, v2, v3, v4 generano $R^2[x]$
- v4 non appartenga allo span di v1,v2,v3
Allora, se $R^2[x]$ ha dim. 3 sappiamo che 4 vettori devono essere per forza lin. dipendenti, perché almeno 1 sarà combinazione lineare degli altri 3.
Perciò direi che la risposta è no. Se v4 non appartiene allo span di v1,v2,v3 allora v1,v2,v3 non sono base e quindi non generano.
Che dite?
Esatto!
Però a pensarci, v4 non potrebbe essere C.L. di v2 e v3 ad esempio?
Se così fosse, $v_4 in sub $!
Io invece ho fatto questo ragionamento:
se 3 (siamo in uno spazio di dim. 3) vettori devono essere lin. indipendenti (e devono perché altrimenti non avremmo un insieme di generatori) non è possibile trovarne un 4° non appartenente allo span degli altri 3. Potrebbe appartenere allo span di v1 e v2, ma questo sarebbe assurdo, perché significherebbe che v3 non è il terzo vettore della base, e quindi non avremmo più un sistema di generatori.
Che ne pensi?
se 3 (siamo in uno spazio di dim. 3) vettori devono essere lin. indipendenti (e devono perché altrimenti non avremmo un insieme di generatori) non è possibile trovarne un 4° non appartenente allo span degli altri 3. Potrebbe appartenere allo span di v1 e v2, ma questo sarebbe assurdo, perché significherebbe che v3 non è il terzo vettore della base, e quindi non avremmo più un sistema di generatori.
Che ne pensi?
E' vero che non possiamo trovare un quarto vettore che soddisfa le ipotesi, ma il ragionamento non è corretto: infatti se $v_4$ è combinazione lineare di $v_1$ e $v_2$, allora è anche combinazione lineare di $v_1,v_2$ e $v_3$ (basta prendere la combinazione $a*v_1 + b*v_2 + 0*v_3, a,b in RR$). Quindi il fatto che $v_4 in $ non implica affatto che $v_3$ non sia un generatore. Prova a ragionare così: hai tre vettori linearmente indipendenti che generano uno spazio di dimensione $3$. Se esistesse un $v_4$ che genera lo spazio insieme agli altri tre e al tempo stesso linearmente indipendente dagli altri, allora lo spazio avrebbe dimensione $4$, il che è assurdo.
Ah ok ora è chiaro.
Questi due esercizi sembrano quasi uguali ma in realtà c'è differenza visto che nel primo caso è possibile.
La differenza sta nel fatto che nel primo caso il vettore da trovare è "esterno" al gruppo di vettori in esame.
Giusto?
Grazie!
Questi due esercizi sembrano quasi uguali ma in realtà c'è differenza visto che nel primo caso è possibile.
La differenza sta nel fatto che nel primo caso il vettore da trovare è "esterno" al gruppo di vettori in esame.
Giusto?
Grazie!
Più che altro nel primo non si dice che i vettori generano lo spazio e non dà alcuna dimensione di tale spazio, che è quello che frega nel secondo esercizio. Attenzione però: se nel secondo esercizio $v_1,v_2,v_3$ sono linearmente DIPENDENTI, allora è possibilissimo trovare $v_4$ che soddisfa le condizioni!
Ma se prendessimo
0
1
X
X^2
Non avremmo soddisfatto le richieste?
0
1
X
X^2
Non avremmo soddisfatto le richieste?
Certo, ma ricordati che il vettore nullo è linearmente dipendente per definizione, dunque chiaramente appartiene allo span degli altri tre!
Però questo dimostra che è possibile farlo, mentre tu dicevi di no...o mi sbaglio?
Presi così i vettori abbiamo che sono una base (quindi generano) ma x^2 non appartiene allo span di 0,1,x.
Perciò le richiesta è soddisfacibile!
Presi così i vettori abbiamo che sono una base (quindi generano) ma x^2 non appartiene allo span di 0,1,x.
Perciò le richiesta è soddisfacibile!
No attenzione! Il vettore nullo, $1$ e $x$ non generano affatto il nostro spazio, dunque non sono nemmeno una base! Il vettore nullo è per forza linearmente dipendente con gli altri, dunque $<0,1,x>$ non è un sistema di generatori per $RR_2[x]$.
Ma l'esercizio chiedeva che tutti e 4 i vettori generassero...non solo 3! E se togliamo lo 0, abbiamo ancora una base!
L'esercizio chiedeva che:
- v1, v2, v3, v4 generano R2[x]
- v4 non appartenga allo span di v1,v2,v3
E con 0, 1, x, x^2 secondo me ci siamo... in quanto x^2 non appartiene allo span di 0,1,x ma tutti e 4 insieme generano!
L'esercizio chiedeva che:
- v1, v2, v3, v4 generano R2[x]
- v4 non appartenga allo span di v1,v2,v3
E con 0, 1, x, x^2 secondo me ci siamo... in quanto x^2 non appartiene allo span di 0,1,x ma tutti e 4 insieme generano!
Scusami, avevo capito male la tua affermazione, credevo dicessi che $0,1,x$ generano $RR_2[x]$. Come hai detto ora va bene, i quattro generano lo spazio ma uno di essi non appartiene allo span degli altri. L'importante è che ricordi che $0$ (vettore nullo) è presente in QUALUNQUE span, ed è per definizione linearmente dipendente. Forse ce l'abbiamo fatta 
Ahah sì Invece io sicuramente l'esame non l'ho superato 
Invece io sicuramente l'esame non l'ho superato
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