Determinare vertice di un triangolo nota l'area

[-Crisalide]

Salve a tutti,
Come faccio a calcolare le coordinate di un vertice nota l'area e gli altri due vertici del triangolo?
Il testo dell'esercizio è il seguente:

Determinare tutti i punti $Rin r$ e tali che l'area del triangolo $T_R$ un triangolo avente come vertici i punti $A,B,R$ sia $3/2$.
La retta $r$ ha equazione parametrica:

$\{(x=t),(y=t),(z=1+t):}$

$A = (1,0,0)$

$B = (0,1,0)$

Ho ricavato l'equazione di una retta $s$ passante per i punti $A$ e $B$:

$\{(x=1-t),(y=t),(z=0):}$

Ho poi calcolato la lunghezza della retta $s$, per avere la lunghezza della base del triangolo e ho ottenuto che la lunghezza della base (ottenuta calcolando la distanza tra $A$ e $B$) è uguale a $sqrt(2)$.

[vict85]

Ma se hai l'area di un triangolo e una sua base (il segmento che unisce A e B), allora puoi trovare l'altezza \(\displaystyle h \). L'altezza definisce un cilindro di raggio \(\displaystyle h \). A questo punto ti basta trovare le intersezioni di questo cilindro con \(\displaystyle r \). Non ti sembra?

[vict85]

Mi sono reso conto che il mi suggerimento era un po' troppo vago. Devo trovare i punti appartenenti a \(\displaystyle r \) che distano \(\displaystyle h \) da \(\displaystyle A + (B-A)t \).

Ora hai calcolato che \(\displaystyle \lVert B-A \rVert = \sqrt{ (0-1)^2 + (1-0)^2 + (0-0)^2 } = \sqrt{2} \). Per comodità sia \(\displaystyle \mathbf{u} = \frac{B-A}{\lVert B-A \rVert} = \frac{1}{\sqrt{2}}(-1,1,0) = \biggl(-\frac{1}{\sqrt{2}},\frac{1}{\sqrt{2}},0 \biggr) \) e usiamo la più conveniente retta \(\displaystyle A + t\mathbf{u} \). Fin qui immagino nulla di problematico.

Premetto qui che segno il prodotto scalare con \(\displaystyle \langle \mathbf{x}, \mathbf{u} \rangle \), se tu usi \(\displaystyle \mathbf{x}\cdot \mathbf{u}\) fai le dovute modifiche.

A questo punto ti ricordo che se \(\displaystyle \mathbf{u} \), \(\displaystyle \mathbf{v} \) e \(\displaystyle \mathbf{w} \) sono una base di vettori ortonormali allora per ogni vettore \(\displaystyle \mathbf{x} \) si ha \(\displaystyle \mathbf{x} = \langle \mathbf{x}, \mathbf{u} \rangle \mathbf{u} + \langle \mathbf{x}, \mathbf{v} \rangle \mathbf{v} + \langle \mathbf{x}, \mathbf{w} \rangle \mathbf{w}\)[nota]Nel caso i vettori non siano unitari è necessario dividere per le loro lunghezze[/nota]. Perciò \(\displaystyle \mathbf{x} - \langle \mathbf{x}, \mathbf{u} \rangle \mathbf{u} \in \mathcal{L}(\mathbf{v},\mathbf{w}) = (\mathbb{R}\mathbf{u})^{\perp}\). Questo solo per dire che sei hai la retta \(\displaystyle P + t\mathbf{u} \) la distanza tra un punto \(\displaystyle R \) e questa retta è uguale a \(\displaystyle \lVert (R - P) - \langle R - P, \mathbf{u}\rangle\mathbf{u} \rVert \).

Quindi nel tu caso devi trovare un punto \(\displaystyle R = (0,0,1) + (1,1,1)t \) tale che \(\displaystyle \lVert (R - A) - \langle R - A, \mathbf{u}\rangle\mathbf{u} \rVert^2 = h^2 = \frac{9}{\lVert B - A \rVert^2} = \frac{9}{2} \).

Ti conviene tenere conto del fatto che, ponendo \(\displaystyle \mathbf{v} = (0,0,1) - A = (0,0,1)-(1,0,0) = (-1,0,1) \) e \(\displaystyle \mathbf{w} = (1,1,1) \) , hai che \(\displaystyle R - A = \mathbf{v} + t\mathbf{w} \). Perciò

\begin{align} (R - A) - \langle R - A, \mathbf{u}\rangle\mathbf{u} &= \mathbf{v} + t\mathbf{w} - \langle \mathbf{v} + t\mathbf{w}, \mathbf{u}\rangle\mathbf{u} \\
&= \mathbf{v} + t\mathbf{w} - \bigl( \langle \mathbf{v}, \mathbf{u}\rangle + t\langle \mathbf{w}, \mathbf{u}\rangle \bigr)\mathbf{u} \\
&= \bigl(\mathbf{v} - \langle \mathbf{v}, \mathbf{u}\rangle\mathbf{u} \bigr) + t\bigl( \mathbf{w} - \langle \mathbf{w}, \mathbf{u}\rangle\mathbf{u} \bigr) \\
\end{align}



Insomma, in definitiva troverai una equazione di secondo grado in \(\displaystyle t \) che definisce \(\displaystyle R \).

[Sk_Anonymous]

In alternativa si può usare la formula ( che esprime l'area di un triangolo in funzione delle aree dei triangoli che sono proiezione del triangolo dato sui 3 piani coordinati xy,yz,zx) :
\(\displaystyle 4S^2= \begin{pmatrix}x_1&y_1&1\\x_2&y_2&1\\x_3&y_3&1\end{pmatrix}^2 +\begin{pmatrix}y_1&z_1&1\\y_2&z_2&1\\y_3&z_3&1\end{pmatrix}^2+ \begin{pmatrix}z_1&x_1&1\\z_2&x_2&1\\z_3&x_3&1\end{pmatrix}^2\)

dove $(x_i,y_i,z_i), i=1,2,3$ sono i vertici del triangolo.
Nel caso nostro si ha :
$A\equiv(1,0,0),B\equiv(0,1,0),R\equiv(t,t,t+1)$, essendo R il punto generico di r.
Pertanto :
\(\displaystyle 4S^2= \begin{pmatrix}1&0&1\\0&1&1\\t&t&1\end{pmatrix}^2+ \begin{pmatrix}0&0&1\\1&0&1\\t&t+1&1\end{pmatrix}^2+ \begin{pmatrix}0&1&1\\0&0&1\\t+1&t&1\end{pmatrix}^2 \)
Facendo i calcoli :
$4S^2=6t^2+3$
ma $S=3/2$ e quindi sostituendo risulta l'equazione:
\(\displaystyle 9=6t^2+3 -> t=\mp 1 \)
In conclusione si hanno due soluzioni per il terzo vertice R del triangolo:
$R_1\equiv(-1,-1,0),R_2\equiv(1,1,2)$