Determinare un'iperbole
Ciao a tutti, ho provato a risolvere questo esercizio ma non ci sono riuscito.
Si determini l'iperbole $gamma$ avente il punto $C(1,0)$ come centro e il punto $V$ come vertice e un asintoto parallelo alla retta $r:2x-y=0$
Credo che mi debba ricavare un fascio di coniche, e poi imporre che l'asintoto abbia coefficiente angolare $2$. Ma non ho idea di come si possa fare.
Inoltre so dalla teoria, che $gammanni_infty={A_infty,B_infty}$ e che questi appartengono a $gamma$. Gli asintoti per tanto sono dati dalle rette $[CA_infty],[CB_infty]$. Che sono rispettivamente uguali alle polari di $A_infty$ e $B_infty$ in quanto autoconiugate. Ma non riesco a costruirmi queste due rette e quindi il fascio (bi)tangente e completare l'esercizio...
Come posso fare?
Grazie
Si determini l'iperbole $gamma$ avente il punto $C(1,0)$ come centro e il punto $V$ come vertice e un asintoto parallelo alla retta $r:2x-y=0$
Credo che mi debba ricavare un fascio di coniche, e poi imporre che l'asintoto abbia coefficiente angolare $2$. Ma non ho idea di come si possa fare.
Inoltre so dalla teoria, che $gammanni_infty={A_infty,B_infty}$ e che questi appartengono a $gamma$. Gli asintoti per tanto sono dati dalle rette $[CA_infty],[CB_infty]$. Che sono rispettivamente uguali alle polari di $A_infty$ e $B_infty$ in quanto autoconiugate. Ma non riesco a costruirmi queste due rette e quindi il fascio (bi)tangente e completare l'esercizio...
Come posso fare?
Grazie
Risposte
sono riuscito a calcolare un asintoto, imponendo che il centro vi appartenga, e dovrebbe essere $a:y=2x-2$
Ora?
Ora?
Sono troppo arrugginito. Provo a darti un'idea (naturalmente sarà tua cura controllare che non stia dicendo cavolate).
La retta $[C,V]$ è un'asse, giusto? L'asse è una retta di simmetria. Quindi, se non sbaglio, la retta tangente alla conica in $V$ è la retta perpendicolare all'asse in $V$.
A questo punto puoi usare il fascio bitangente, in quanto sai che la conica è tangente all'asse e alla retta che hai determinato.
Che ne dici? Funziona?
La retta $[C,V]$ è un'asse, giusto? L'asse è una retta di simmetria. Quindi, se non sbaglio, la retta tangente alla conica in $V$ è la retta perpendicolare all'asse in $V$.
A questo punto puoi usare il fascio bitangente, in quanto sai che la conica è tangente all'asse e alla retta che hai determinato.
Che ne dici? Funziona?
Ti ringrazio dell'idea... più tardi proverò a completare l'esercizio ed a postare la possibile soluzione, così magari potremo discuterne!
Grazie ancora
Grazie ancora
Ho provato a svolgere l'esercizio come indicato
La retta $[CV]$ ha equazione $y=0$ ed la sua retta perpendicolare, tangente in $V$ alla conica, ha equazione $x=0$ se non ho sbagliato i conti. Inoltre abbiamo che un asintoto ha equazione $y=2x-2$
Pertanto la mia iperbole dovrebbe essere $gamma:x(2x-y-2)+y^2=0$
però se scrivo la matrice associata $((2,-1/2,-1),(-1/2,1,0),(-1,0,0))$ scopro che il minore $|(2,-1/2),(-1/2,1)|>0$ e pertanto risulta un ellisse...
come completare? O dove sta l'errore?
La retta $[CV]$ ha equazione $y=0$ ed la sua retta perpendicolare, tangente in $V$ alla conica, ha equazione $x=0$ se non ho sbagliato i conti. Inoltre abbiamo che un asintoto ha equazione $y=2x-2$
Pertanto la mia iperbole dovrebbe essere $gamma:x(2x-y-2)+y^2=0$
però se scrivo la matrice associata $((2,-1/2,-1),(-1/2,1,0),(-1,0,0))$ scopro che il minore $|(2,-1/2),(-1/2,1)|>0$ e pertanto risulta un ellisse...
come completare? O dove sta l'errore?
Mmm, hai dimenticato di usare il fascio bitangente. Forse mi ero spiegato male:
Sai che la conica è tangente alla retta $x=0$ in $V$ ($V$ è l'origine vero?) e tangente alla retta $y=2x-2$ nel suo punto improprio $A_{\infty}$.
Le coniche degeneri del fascio hanno equazione $x(2x-y-2)=0$ e $(y-2x)^2=0$ (la retta di equazione $y=2x$ è la retta $[V,A_{\infty}]$).
Il fascio ha equazione
$x(2x-y-2)+\lambda(y-2x)^2=0$
Ora dovresti imporre che il centro sia $C$. Riprova poi mi fai sapere.
Sai che la conica è tangente alla retta $x=0$ in $V$ ($V$ è l'origine vero?) e tangente alla retta $y=2x-2$ nel suo punto improprio $A_{\infty}$.
Le coniche degeneri del fascio hanno equazione $x(2x-y-2)=0$ e $(y-2x)^2=0$ (la retta di equazione $y=2x$ è la retta $[V,A_{\infty}]$).
Il fascio ha equazione
$x(2x-y-2)+\lambda(y-2x)^2=0$
Ora dovresti imporre che il centro sia $C$. Riprova poi mi fai sapere.
Aaaah adesso ho capito! Avevo frainteso la tua risposta, colpa mia.
Tra l'altro c'è da aggiustare anche la retta $x=0$, perchè è in realtà $x-2=0$ ho trascritto male.
Ti ringrazio, rifaccio l'esercizio e poi lo posto!
Tra l'altro c'è da aggiustare anche la retta $x=0$, perchè è in realtà $x-2=0$ ho trascritto male.
Ti ringrazio, rifaccio l'esercizio e poi lo posto!
imponendo il centro sul fascio ottengo la conica $gamma:2x^2-xy-6x+2y+4=0$ e si verifica che è effettivamente un'iperbole.
Ti ringrazio Cirasa!
Ti ringrazio Cirasa!
You're welcome! 
Mi è venuto un dubbio... L'iperbole è una conica a centro, questo vuol dire che il centro non deve appartenere alla conica. Qui invece vi appartiene... è un errore o mi sfugge un particolare?
"mistake89":
imponendo il centro sul fascio ottengo la conica $gamma:2x^2-xy-6x+2y+4=0$ e si verifica che è effettivamente un'iperbole.
"mistake89":
L'iperbole è una conica a centro, questo vuol dire che il centro non deve appartenere alla conica. Qui invece vi appartiene...
Come hai giustamente notato tu, in queste due frasi ti sei contraddetto.
Vuol dire che in qualche punto hai commesso qualche errore...forse nel calcolo del centro?
P.S. Domani mattina sarò in dipartimento. Fammi sapere con un pm se ci sei anche tu, eventualmente controlliamo l'esercizio insieme.
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