Determinare un'applicazione lineare

[EveyH]

Ciao a tutti.
Come si risolve un esercizio del genere?
Determinare, se possibile, un'applicazione lineare $F$ : $R^3 -> R^3$ tale che $ImF = Span {e1+e2-2e3, e2}$ ed e2 sia un autovettore di F.
Dove e1, e2, e3 sono i vettori della base canonica di $R^3$ ovvero e1=(1,0,0), e2=(0,1,0), e3=(0,0,1).

Grazie!

[lukath]

In teoria dovresti scrivere la matrice rappresentativa dell'applicazione avendo come base di partenza e arrivo quella canonica... Sai già che $e_2$ ha autovalore 1 e che $f(e_3)$ dev'essere il vettore nullo, in quanto la dimensione dell'immagine è $2$, dunque $dim(Kerf)=1$ (potevi scegliere anche $e_1$ al posto di $e_3$). A questo punto poni $f(e_1)=e_1 + e_2 - 2e_3$ e scrivi la matrice rappresentativa:

$M = ((1,0,0),(1,1,0),(-2,0,0))$

e hai la tua funzione in "forma matriciale".

[EveyH]

Grazie!
Ma perché f(e3) dev'essere il vettore nullo?

[lukath]

L'esercizio ti fornisce la dimensione dell'immagine di questa applicazione, che è $2$. Per il teorema di "nullità più rango", data un' applicazione lineare $f: V \to W$, con $V$ e $W$ spazi vettoriali, allora $dim(V) = dim(Kerf) + dim(Imf)$, dunque in questo caso $Ker(f)$ deve avere dimensione $1$; questo ti indica che almeno un vettore della tua base dev'essere mappato nel vettore nullo e visto che l'esercizio ti impone condizioni solo su $e_2$, scegli uno degli altri due vettori della base canonica e lo mandi nel vettore nullo. Quello rimanente dovrà essere mappato in $e_1 + e_2 - 2e_3$, io ho scelto di mandare $e_3$ nel vettore nullo ed $e_1$ in $e_1 + e_2 - 2e_3$, ma scambiando $e_1$ con $e_3$ non alteri nulla