Determinare una retta passante per un punto....[]

[blastor]

Salve a tutti, non riesco a risolvere questo esercizio, dovrei trovare una retta passante per un punto A(1,0,0), parallela ad un piano $alpha=x-2y+z=0$ ed ortogonale ad una retta $r{(x-y-z=0),(y+z=0):}$
Come potrei iniziare?

[federicav1]

Ciao, la retta che tu cerchi è perpendicolare a r, cioè è contenuta nel piano individuato dai vettori (1,-1,-1) (dalla prima equazione di r) e (0,1,1) (dalla seconda equazione di r), che trovi facendo il loro prodotto vettoriale.
Inoltre è parallela al piano $alpha$, quindi sta in un piano parallelo ad $alpha$, diciamo x-2y+z=k.
Resta da imporre il passaggio per il punto A.
Spero che il suggerimento sia utile, buon lavoro.

[blastor]

grazie mille..allora intanto per trovare il piano parallelo a alpha e passante per A, posso prendere il fascio di piani improprio del tipo x-2y+z+k=0, imponiamo il passaggio per A quindi k=-1, quindi il piano parallelo ad alpha e passanter per A sarà x+2y+z-1=0, dopo questo mi sono bloccato, non ho ben capito...faccio il prodotto vettoriale dei vettori della retta? e faccio l'intersezione con il piano trovato?

[m911]

scrivi il fascio di rette contenente A

imponi che il prodotto scalare tra le componenti del fascio e i parametri dir. di una retta $ _|_ $ al piano $ alpha $ sia 0
imponi che il prod scalare tra le stesse componente del fascio e i parametri direttori della retta r sia 0

sostituisci i valori a,b,c al fascio.

[Maci86]

Io svolgerei la cosa in una maniera diversa, dal mio punto di vista più facile
Imponi, come hai fatto tu che un piano parallelo a quello dato $alpha$ passi per $A$:
$alpha_A:x-2y+z=1$
Ora un piano ortogonale alla retta $r$ avrà per coefficienti i valori del coefficiente direttivo della retta:
$<((0),(1),(-1))>Rightarrow beta: y-z=k Rightarrow beta_A: y-z=0 $
La retta sarà ora semplicemente:
$s{(x-2y+z=1),(y-z=0):}$

[blastor]

"Maci86":Io svolgerei la cosa in una maniera diversa, dal mio punto di vista più facile
Imponi, come hai fatto tu che un piano parallelo a quello dato $alpha$ passi per $A$:
$alpha_A:x-2y+z=1$
Ora un piano ortogonale alla retta $r$ avrà per coefficienti i valori del coefficiente direttivo della retta:
$<((0),(1),(-1))>Rightarrow beta: y-z=k Rightarrow beta_A: y-z=0 $
La retta sarà ora semplicemente:
$s{(x-2y+z=1),(y-z=0):}$

grazie maci stavo proprio per completarlo così...posso chiederti solo una cosa?
Come posso trovare i valori del coefficente direttivo in una retta in forma analitica? perchè per trovarli ho dovuto portarla in forma parametrica e prendere i coefficenti della t
${(x=0),(y=t),(z=-t):}$

EDIT:un'ultimissima cosa, se dovessi trovare la retta che passa per A e parallela alla retta data come dovrei fare?
in un esercizio ho visto che devo prendere sempre il coefficente direttivo cioè(0,1,-1) e fare ${(x=1),(y=t),(z=-t):}$ che poi diventerebbe ${(y+z=0),(x=1):}$ è esatto?

[Maci86]

Io faccio così, perché ormai son abituato a saltare da una definizione all'altra (e perché sono un po' un animale ), prendo una delle coordinate, per esempio la $y$ e dico che questa vale 1, in base a questo trovo quanto valgono le altre due coordinate. Se ti risultano delle equazioni impossibili sai che quel valore non sarà mai 1 e allora è 0, altrimenti trovi un vettore che è quello direttivo della retta
Nel nostro caso, prova a vedere cosa succede se scelgo $x=1$ così fai un po' di esercizio

Beh, hai una retta parallela, stesso coefficiente direttivo, che passa per un punto $A$:
$<((0),(1),(-1))>+ ((1),(0),(0))$
Se la vuoi in forma cartesiana basta, semplicemente, prendere i due piani che generano la retta e trovare i due piani paralleli a questi che passano per $A$, a parole sembra difficile ma a farlo è un passaggio:
$r_A: {(x-y-z=alpha),(y+z=beta):} Rightarrow alpha=1-0-0, beta=0+0 Rightarrow r_A: {(x-y-z=1),(y+z=0):}$