Determinare una parabola. Problema con la retta polare!
Salve a tutti,
ho un esercizio in cui mi si chiede di determinare una parabola utilizzando le seguenti informazioni: ha vertice in $O (0,0)$, punto improprio $P(1,1,0)$ e passa per $A(2,0)$. Detta $r$ la polare del punto $(-1,-1)$ rispetto alla parabola $p$, siano $A$, $B$ i punti in cui $r$ seca $p$ e siano $t_1$ e $t_2$ le tangenti alla parabola in $A$ e in $B$.
Per trovare $p$, sfrutto la proprietà del punto improprio che mi da il coefficiente angolare dell'asse di simmetria della parabola, in questo caso $1$. Pertanto l'equazione del primo asse $OP$ è $y-x =0$, per trovare il secondo asse sfrutto sempre la proprietà del punto improprio di una parabola che tramite il suo ortogonale $Q (1,-1,0)$ mi fornisce il coeff. angolare dell'altro asse tangente a $O$, $OQ$ di equazione $x+y =0$.
Siamo nel caso delle coniche bitangenti e sappiamo che è una parabola, l'equazione del fascio a me viene:
$k(x+y) +(x-y)^2 =0$, mentre al prof. viene $k(x+y)t +(x-y)^2$ (non capisco cosa sia $t$)
Infine per determinare la parabola $p$ il professore sfrutta (credo) l'ultima informazione e cioè che la polare $r$ del punto $-1,-1$ rispetto a $p$, seca $p$ in $A$, $B$.
Sfruttando questa informazione ricava $k$ poichè si ha $2k +4 =0$ $=>$ $k = -2$.
Non riesco a capire che calcoli ha fatto.
A me la retta polare $r$ passante per $-1,-1$ viene $y = -x -2$ ma sostituendo questa espressione nel fascio di parabole non mi tornano i calcoli.
Dove sto sbagliando?
Grazie in anticipo
Emanuele
ho un esercizio in cui mi si chiede di determinare una parabola utilizzando le seguenti informazioni: ha vertice in $O (0,0)$, punto improprio $P(1,1,0)$ e passa per $A(2,0)$. Detta $r$ la polare del punto $(-1,-1)$ rispetto alla parabola $p$, siano $A$, $B$ i punti in cui $r$ seca $p$ e siano $t_1$ e $t_2$ le tangenti alla parabola in $A$ e in $B$.
Per trovare $p$, sfrutto la proprietà del punto improprio che mi da il coefficiente angolare dell'asse di simmetria della parabola, in questo caso $1$. Pertanto l'equazione del primo asse $OP$ è $y-x =0$, per trovare il secondo asse sfrutto sempre la proprietà del punto improprio di una parabola che tramite il suo ortogonale $Q (1,-1,0)$ mi fornisce il coeff. angolare dell'altro asse tangente a $O$, $OQ$ di equazione $x+y =0$.
Siamo nel caso delle coniche bitangenti e sappiamo che è una parabola, l'equazione del fascio a me viene:
$k(x+y) +(x-y)^2 =0$, mentre al prof. viene $k(x+y)t +(x-y)^2$ (non capisco cosa sia $t$)
Infine per determinare la parabola $p$ il professore sfrutta (credo) l'ultima informazione e cioè che la polare $r$ del punto $-1,-1$ rispetto a $p$, seca $p$ in $A$, $B$.
Sfruttando questa informazione ricava $k$ poichè si ha $2k +4 =0$ $=>$ $k = -2$.
Non riesco a capire che calcoli ha fatto.
A me la retta polare $r$ passante per $-1,-1$ viene $y = -x -2$ ma sostituendo questa espressione nel fascio di parabole non mi tornano i calcoli.
Dove sto sbagliando?
Grazie in anticipo
Emanuele
Risposte
se si parla di coniche bitangenti,bisogna determinare 2 tangenti
una è quella da te riportata : $x+y=0$
l'altra è la retta impropria $t=0$ (tutte le parabole sono tangenti alla retta impropria)
il fascio contiene le coniche degeneri :
$C_1$ formata dalle due rette tangenti in $O$ e $P$
$C_2=C_3$ formata dalla retta $OP$ contata due volte
quindi il fascio ha equazione
$k(x+y)t+(x-y)^2=0$
per trovare $k$ basta semplicemente imporre il passaggio per il punto $A(2,0,1)$ (in coordinate omogenee)
una è quella da te riportata : $x+y=0$
l'altra è la retta impropria $t=0$ (tutte le parabole sono tangenti alla retta impropria)
il fascio contiene le coniche degeneri :
$C_1$ formata dalle due rette tangenti in $O$ e $P$
$C_2=C_3$ formata dalla retta $OP$ contata due volte
quindi il fascio ha equazione
$k(x+y)t+(x-y)^2=0$
per trovare $k$ basta semplicemente imporre il passaggio per il punto $A(2,0,1)$ (in coordinate omogenee)
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