Determinare una matrice rispetto a una base e nucleo

[angelad97]

Sia L : R3 −→ R2 tale che L(1,0,0) = (3,1) e {(0,2,1),(1,0,−1)}∈ KerL . Trovare la matrice che rappresenta L rispetto alla base canonica e dire se L `e iniettiva o suriettiva.

Aiutoo

[cooper1]

la matrice rappresentativa ha come colonne le immagini dei vettori della base (qui canonica). dobbiamo quindi trovare
$ L( ( 1 ),( 0 ),( 0 ) ) ; L( ( 0 ),( 1 ),( 0 ) ); L( ( 0 ),( 0 ),( 1 ) ) $
per far questo dobbiamo riuscire a scrivere i vettori della base canonica come combinazione lineare di alcuni vettori di cui conosciamo l'immagine così che per linearità dell'applicazione possiamo anche trovare le immagini che ci interessano. per far questo sappiamo 3 cose:
1. $ L( ( 1 ),( 0 ),( 0 ) )=( ( 3 ),( 1 ) ) $
2. $ L( ( 0 ),( 2 ),( 1 ) )=( ( 0 ),( 0 ) ) $
3. $ L( ( 1 ),( 0),(-1 ) )=( ( 0 ),( 0 ) ) $
il punto 1 ci da la prima colonna della matrice rappresentativa ci mancano le altre due.
notiamo che $ ( ( 1 ),( 0 ),( 0 ) )-( ( 1 ),( 0 ),( -1 ) ) = e_3 = ( ( 0 ),( 0 ),( 1 ) ) $ per cui, per la linearità di $L$, l'immagine è:
$ L(e_3)=L( ( 1 ),( 0 ),( 0 ) )-L( ( 1 ),( 0 ),( -1 ) ) = ((3), (0)) - ((0), (0))= ((3), (0)) $
lascio fare a te l'ultima colonna.
infine per le ultime due domande tieni conto che per essere iniettiva un'applicazione lineare deve avere nucleo banale, ovvero la dimensione del kernel deve essere nulla; invece è suriettiva quando la dimensione dell'immagine è uguale alla dimensione del dominio. per capire queste cose ricorda anche che $dim V= dim(ker L)+dim (Im L)$

[angelad97]

Grazie mille

[cooper1]

di nulla