Determinare una conica
Buonasera a tutti, qualcuno sa spiegarmi come si fanno questo tipo di esercizi? So che mi servono 5 informazioni per costruire una conica. Ho letto e riletto il capito sui fasci di coniche di primo, secondo e terzo tipo. Ma non riesco ad applicarlo su questo tipo di eserzio.
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Risposte
La quinta informazione è il fatto che la conica sia una parabola: lavorando in coordinate omogenee, questo equivale a dire che la conica è tangente alla retta all'infinito, mentre in coordinate cartesiane equivale a dire che i termini di secondo grado formano un trinomio con discriminante nullo ($\Leftrightarrow$ quadrato di un binomio). Di conseguenza, per una parabola bastano quattro informazioni, quindi hai tutto quello che ti serve.
"spugna":
La quinta informazione è il fatto che la conica sia una parabola: lavorando in coordinate omogenee, questo equivale a dire che la conica è tangente alla retta all'infinito, mentre in coordinate cartesiane equivale a dire che i termini di secondo grado formano un trinomio con discriminante nullo ($\Leftrightarrow$ quadrato di un binomio). Di conseguenza, per una parabola bastano quattro informazioni, quindi hai tutto quello che ti serve.
Ciao, grazie dell'aiuto. Quello che dici va bene ma a me serve svolgere l'esercizio normalmente, non andare a esclusione con le risposte. Riesci a darmi una mano? Le 4 informazioni che ho sarebbero i due punti e la tangente? Non me ne manca uno?
"jack1":
Le 4 informazioni che ho sarebbero i due punti e la tangente? Non me ne manca uno?
Di quella retta ti viene dato anche il punto di tangenza, quindi i punti che conosci sono 3.
"spugna":
[quote="jack1"] Le 4 informazioni che ho sarebbero i due punti e la tangente? Non me ne manca uno?
Di quella retta ti viene dato anche il punto di tangenza, quindi i punti che conosci sono 3.[/quote]
Vero, scusami, quindi uso il fascio di coniche del 2° tipo. Devo impostare il passaggio per i 3 punti?
I punti disponibili [uso la notazione (t,x,y)] sono 4, a due a due doppi, che servono a determinare il fascio di parabole
ed un quinto che serve la calcolare effettivamente la parabola soluzione del quesito.
I punti doppi sono:
$P_\infty(0,2,1)$ e $Q(2,2,-1)$
Con questi si possono costruire due coniche degeneri che sono :
1)$(P_\inftyP_\infty)*(Q Q)=0$ che si spezza nella retta impropria del piano della conica e nella tangente data $x+2y=0$
2)$P_\inftyQ*P\inftyQ=0$ che si spezza in due rette coincidenti di equazioni: $x-2y-2t=0$.
Si trova così il fascio:
(3) $\lambda t (x+2y)+\mu(x-2y-2t)^2=0$
Imponendo il passaggio per $A(1,1,0)$ si ha $\lambda=-\mu$ che sostituito nella (3) :
$-\mu\ t (x+2y)+\mu(x-2y-2t)^2=0$
Dopo aver diviso per $\mu$ ( che non può essere nullo), risulta l'equazione( in coordinate non omogenee) :
$(x-2y)^2-5x+6y+4=0$
che corrisponde alla (1) delle soluzioni suggerite.
ed un quinto che serve la calcolare effettivamente la parabola soluzione del quesito.
I punti doppi sono:
$P_\infty(0,2,1)$ e $Q(2,2,-1)$
Con questi si possono costruire due coniche degeneri che sono :
1)$(P_\inftyP_\infty)*(Q Q)=0$ che si spezza nella retta impropria del piano della conica e nella tangente data $x+2y=0$
2)$P_\inftyQ*P\inftyQ=0$ che si spezza in due rette coincidenti di equazioni: $x-2y-2t=0$.
Si trova così il fascio:
(3) $\lambda t (x+2y)+\mu(x-2y-2t)^2=0$
Imponendo il passaggio per $A(1,1,0)$ si ha $\lambda=-\mu$ che sostituito nella (3) :
$-\mu\ t (x+2y)+\mu(x-2y-2t)^2=0$
Dopo aver diviso per $\mu$ ( che non può essere nullo), risulta l'equazione( in coordinate non omogenee) :
$(x-2y)^2-5x+6y+4=0$
che corrisponde alla (1) delle soluzioni suggerite.
"sandroroma":
I punti disponibili [uso la notazione (t,x,y)] sono 4, a due a due doppi, che servono a determinare il fascio di parabole
ed un quinto che serve la calcolare effettivamente la parabola soluzione del quesito.
I punti doppi sono:
$P_\infty(0,2,1)$ e $Q(2,2,-1)$
Con questi si possono costruire due coniche degeneri che sono :
1)$(P_\inftyP_\infty)*(Q Q)=0$ che si spezza nella retta impropria del piano della conica e nella tangente data $x+2y=0$
2)$P_\inftyQ*P\inftyQ=0$ che si spezza in due rette coincidenti di equazioni: $x-2y-2t=0$.
Si trova così il fascio:
(3) $\lambda t (x+2y)+\mu(x-2y-2t)^2=0$
Imponendo il passaggio per $A(1,1,0)$ si ha $\lambda=-\mu$ che sostituito nella (3) :
$-\mu\ t (x+2y)+\mu(x-2y-2t)^2=0$
Dopo aver diviso per $\mu$ ( che non può essere nullo), risulta l'equazione( in coordinate non omogenee) :
$(x-2y)^2-5x+6y+4=0$
che corrisponde alla (1) delle soluzioni suggerite.
Ciao grazie mille. Ho capito praticamente tutto tranne il punto Q. Sarebbe il punto della tangente? Non capisco perchè $(2,2,-1)$.
Il punto Q è il punto ( di ascissa 1) di tangenza della tangente $x+2y=0$
Ponendo $x=1$ hai $y=-1/2$ e dunque il punto Q di tangenza , in cordinate omogenee, é:
$Q(1,1,-1/2)$
Moltiplicamdo il tutto per 2 hai appunto $Q(2,2,-1)$
Ponendo $x=1$ hai $y=-1/2$ e dunque il punto Q di tangenza , in cordinate omogenee, é:
$Q(1,1,-1/2)$
Moltiplicamdo il tutto per 2 hai appunto $Q(2,2,-1)$
"sandroroma":
Il punto Q è il punto ( di ascissa 1) di tangenza della tangente $x+2y=0$
Ponendo $x=1$ hai $y=-1/2$ e dunque il punto Q di tangenza , in cordinate omogenee, é:
$Q(1,1,-1/2)$
Moltiplicamdo il tutto per 2 hai appunto $Q(2,2,-1)$
Aah ecco, non avevo considerato il "per 2". Ma il primo $1$ da dove lo ricavo? Ti ringrazio
Secondo la notazione che ho indicato, i punti si indicano con la terna ( t,x,y) [ alcuni usano la notazione inversa(x,y,t); altri usano la notazione $(x_3,x_1,x_2). Insomma un casino....] Più semplicemente, se si ha da gestire punti impropri
si pone t=0 mentre per punti propri si può porre t=1.
si pone t=0 mentre per punti propri si può porre t=1.
Perfetto, ho capito. Grazie ancora
"sandroroma":
I punti disponibili [uso la notazione (t,x,y)] sono 4, a due a due doppi, che servono a determinare il fascio di parabole
ed un quinto che serve la calcolare effettivamente la parabola soluzione del quesito.
I punti doppi sono:
$P_\infty(0,2,1)$ e $Q(2,2,-1)$
Con questi si possono costruire due coniche degeneri che sono :
1)$(P_\inftyP_\infty)*(Q Q)=0$ che si spezza nella retta impropria del piano della conica e nella tangente data $x+2y=0$
2)$P_\inftyQ*P\inftyQ=0$ che si spezza in due rette coincidenti di equazioni: $x-2y-2t=0$.
Si trova così il fascio:
(3) $\lambda t (x+2y)+\mu(x-2y-2t)^2=0$
Imponendo il passaggio per $A(1,1,0)$ si ha $\lambda=-\mu$ che sostituito nella (3) :
$-\mu\ t (x+2y)+\mu(x-2y-2t)^2=0$
Dopo aver diviso per $\mu$ ( che non può essere nullo), risulta l'equazione( in coordinate non omogenee) :
$(x-2y)^2-5x+6y+4=0$
che corrisponde alla (1) delle soluzioni suggerite.
non ho capito come trovo:
1)$(P_\inftyP_\infty)*(Q Q)=0$ che si spezza nella retta impropria del piano della conica e nella tangente data $x+2y=0$
2)$P_\inftyQ*P\inftyQ=0$ che si spezza in due rette coincidenti di equazioni: $x-2y-2t=0$.
non ho capito $ P_\infty P_\infty $ cosa sarebbe?
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