Determinare una base ortonormale di un dato sottospazio
Scusate sono disperatamente alla ricerca di un aiuto per il seguente esercizio:
in | x-3y-z=0}.
Determinare una base di ortonormale di W.
Ecco ora il mio dubbio è la risoluzione...
Ho provato a sostituire la base canonica all'interno dell'equazione che ho a disposizione ma i vettori che ottengo non sono nemmeno ortogonali!!!
Vi chiedo cortesemente di darmi una mano èperchè non trovo soluzione nemmeno sugli appunti
Inoltre vorrei puntualizzare che non conosco il metodo di Gram- Schmidt...Spesso ho visto su questo forum risoluzioni usando quel metodo ma io non conoscendolo non posso utilizzarlo...
Grazie a tutti per la disponibilità spero di essere stata esaustiva.
Determinare una base di ortonormale di W.
Ecco ora il mio dubbio è la risoluzione...
Ho provato a sostituire la base canonica all'interno dell'equazione che ho a disposizione ma i vettori che ottengo non sono nemmeno ortogonali!!!
Vi chiedo cortesemente di darmi una mano èperchè non trovo soluzione nemmeno sugli appunti
Inoltre vorrei puntualizzare che non conosco il metodo di Gram- Schmidt...Spesso ho visto su questo forum risoluzioni usando quel metodo ma io non conoscendolo non posso utilizzarlo...
Grazie a tutti per la disponibilità spero di essere stata esaustiva.
Risposte
Senza usare Gram-Schmidt io farei così:
Considera il tuo spazio [tex]$W= \{ (x,y,z) \in \mathbb{R}^3|x=3y+z \}[/tex]. Una sua base è ovviamente [tex]\{(3,1,0),(1,0,1)\}[/tex]
Considero il vettore $(1,0,1)$ e cerco di capire chi è il suo ortogonale, cioè [tex]$^{\bot}=\{u=(x,y,z) \in W|b(u,v)=0\}[/tex].
Ci ricordiamo che $x=3y+z$ e abbiamo allora $3y+z+z=0$, ove con $b$ ho indicato il prodotto scalare standard, abbiamo cioè $z=-3/2y$. Una base allora di [tex]^{\bot}=\{(\frac{3}{2},1,-\frac{3}{2})\}[/tex].
Ovviamente tale vettore appartiene a $W$ in quanto $3-3/2=3/2=x$ ed inoltre, per costruzione $b(u,v)=0$. Ora non ti resta che ortonormalizzarli!
PS Controlla i miei calcoli
Considera il tuo spazio [tex]$W= \{ (x,y,z) \in \mathbb{R}^3|x=3y+z \}[/tex]. Una sua base è ovviamente [tex]\{(3,1,0),(1,0,1)\}[/tex]
Considero il vettore $(1,0,1)$ e cerco di capire chi è il suo ortogonale, cioè [tex]$
Ci ricordiamo che $x=3y+z$ e abbiamo allora $3y+z+z=0$, ove con $b$ ho indicato il prodotto scalare standard, abbiamo cioè $z=-3/2y$. Una base allora di [tex]
Ovviamente tale vettore appartiene a $W$ in quanto $3-3/2=3/2=x$ ed inoltre, per costruzione $b(u,v)=0$. Ora non ti resta che ortonormalizzarli!
PS Controlla i miei calcoli
Grazie mille
Ancora un ultimo dubbio ma la base ortonormale poi sarà costistuita dai vettori ortonormalizzati {(1,0,1),( 3/2 , 1 , -3/2)?
Ancora un ultimo dubbio ma la base ortonormale poi sarà costistuita dai vettori ortonormalizzati {(1,0,1),( 3/2 , 1 , -3/2)?
Sì, cioè quei vettori divisi per la loro norma!
Grazie mille 
non volevo fare altri errori stupidi!
non volevo fare altri errori stupidi!
"mistake89":
Senza usare Gram-Schmidt io farei così:
Considera il tuo spazio [tex]$W= \{ (x,y,z) \in \mathbb{R}^3|x=3y+z \}[/tex]. Una sua base è ovviamente [tex]\{(3,1,0),(1,0,1)\}[/tex]
Considero il vettore $(1,0,1)$ e cerco di capire chi è il suo ortogonale, cioè [tex]$^{\bot}=\{u=(x,y,z) \in W|b(u,v)=0\}[/tex].
Ci ricordiamo che $x=3y+z$ e abbiamo allora $3y+z+z=0$, ove con $b$ ho indicato il prodotto scalare standard, abbiamo cioè $z=-3/2y$. Una base allora di [tex]^{\bot}=\{(\frac{3}{2},1,-\frac{3}{2})\}[/tex].
Ovviamente tale vettore appartiene a $W$ in quanto $3-3/2=3/2=x$ ed inoltre, per costruzione $b(u,v)=0$. Ora non ti resta che ortonormalizzarli!
PS Controlla i miei calcoli
Un metodo alternativo, che fornisce un risultato equivalente al processo di Gram-Schmidt, è l'algortimo di Gauss-Lagrange !! Poi per ottenere una base ortonormale è necessario dividere la base prtogonale trovata per la relativa norma !!
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